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Niveau IUT/DUT
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Géométrie ENSEA

Posté par
jacquouille
03-05-15 à 18:11

Salut à tous !

Alors voilà, je suis en pleine révision pour le concours ENSEA (en DUT GMP), et je rencontre quelques problèmes de compréhension.

Tout d'abord voici l'énoncé : (banque DUT, sujet 2013, question de spécialité génie mécanique)

   Soit le plan affine euclidien muni du repère orthonormé (0,, ). On considère la courbe d'équation cartésienne y = 1/x et ayant pour représentation paramétrique : {x=t ; y=1/t} avec le paramètre t. On considère trois réels a,b,c distincts et non nuls, et trois points de :
A(a ; 1/a) B(b ; 1/b) C(c ; 1/c).
   Soit H l'orthocentre du triangle (A,B,C) intersection des trois hauteurs.

NB : ce sont des QCM par Vrai ou Faux

1°) est une parabole.

Alors pour cette question, j'ai essayé de travaillé l'équation y = 2px. Mais ça ne mène à rien. Dans la corrigé, on voit que c'est FAUX, car c'est une hyperbole. Comment arrive-t-on à trouver une hyperbole ici ? :/


2°) Un vecteur normal à la droite (BC) a pour composante (1, bc).

Ici je trouve (1, -1/bc) ... Dans le corrigé c'est VRAI. auriez-vous une petite explication ?


3°) Une équation de la hauteur du triangle (A, B, C) issue de A est : abcx - ay = a²bc - 1.

Normalement c'est vrai, mais je n'ai pas trouvé ça perso ... Je trouve un résultat absolument pas cohérent -> bc(1/a - c) + a = 1

Auriez-vous une astuce pour trouver facilement l'equation d'une hauteur ?


Dernière petite question

4°) L'orthocentre H du triangle (A, B, C) a pour coordonnées (abc, -1/abc).

La j'imagine qu'il faut se servir de la réponse 3° qui est VRAIE, et dire que l'Orthocentre est à 1/3 de la hauteur issue de A, mais comment l'intégrer dans un système ?


Si certains se sentent d'attaque et me propose une petite explication, je leur en serais infiniment reconnaissant !

Bien cordialement

V.

PS : j'espère ne pas avoir enfreint la règle du multi-problème, ces questions font partie d'un même exercice.

Posté par
Jouailleur
re : Géométrie ENSEA 03-05-15 à 19:07

1°) Pour une démonstration, tout dépend de la définition dont tu disposes pour ces deux types de coniques.

Mais ici, la fonction et sa représentation graphique sont si connues qu'on peut y voir une question de culture générale.

2°) Pour obtenir un vecteur orthogonal à un vecteur \vec{v}\in \mathbb{R}^2, il suffit d'intervertir les composantes de \vec{v} et de modifier le signe de l'une des deux.

3°) La hauteur issue de A, c'est la droite perpendiculaire à (BC) et passant par A. Utiliser la question 2°).

4°) Utiliser 3°) pour obtenir l'équation des deux autres hauteurs par analogie. En chercher l'intersection.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Géométrie ENSEA 03-05-15 à 19:12

Bonjour,
1) elle s'écrit xy=1 donc du second degré, c'est donc une conique. elle a des points à l'infini donc c'est une hyperbole ou une parabole (et pas une ellipse). elle n'est pas de la forme y = ax²+bx+x donc pas une parabole, c'est donc une hyperbole.

2)la droite BC a pour coefficient directeur m=(1/c-1/b)/(c-b) = -1/bc
une droite perpendiculaire a un coefficient directeur m' tel que mm'=-1 donc m' = bc
une droite de coefficient directeur bc est portée par un vecteur directeur (1;bc)

3) Une équation de la hauteur du triangle (A, B, C) s'écrit AM.BC = 0 (produit scalaire) BC(c-b ; 1/c-1/b) ou un vecteur colinéaire (1;-1/bc)
ça donne (x-a) - (y-1/a)/bc = 0 x - y/bc -a +1/abc = 0 abc x - ay = a²bc - 1

4) l'orthocentre est sur les 3 hauteurs donc vérifie
abcx - ay = a²bc - 1
abcx - by = b²ca - 1
abcx - cy = c²ab - 1

pour résoudre, on prends les deux premières, on fait (2)-(1) qui donne (a-b)y = b²ca-a²bc = abc(b-a) y = -abc
abc x = ay + a²bc-1 = -a²bc + a²bc-1 = -1 donc x = -1/abc

on remarque que l'orthocentre (-1/abc ; abc) est sur l'hyperbole.

Posté par
verdurin
re : Géométrie ENSEA 03-05-15 à 19:22

Bonsoir.

1°) On apprend au lycée que y=1/x est l'équation d'une hyperbole.



2°) Le vecteur \vec{BC} a pour coordonnées \begin{pmatrix}c-b\\ \frac1{c}-\frac1{b}\end{pmatrix}.

    \begin{pmatrix}c-b\\ \frac1{c}-\frac1{b}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\bc\end{pmatrix}=c-b+bc\left(\frac1{c}-\frac1{b}\right)=c-b+b-c=0


3°) On écrit une équation de la hauteur en disant que M(x,y) est sur la hauteur issue de A ssi les vecteurs \vec{AM} et \vec{BC} sont orthogonaux.
    Ce qui se traduit par : leur produit scalaire est nul.
    En d'autres termes
    \begin{pmatrix}x-a\\ y-\frac1{a}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c-b\\ \frac{b-c}{bc}\end{pmatrix}=0

etc.

Posté par
jacquouille
re : Géométrie ENSEA 03-05-15 à 20:31

Merci beaucoup à tous, des lumières se sont ouvertes la-haut ! (merci de m'avoir fait remarqué que y = 1/x est une hyperbole, comme quoi on en oublie les bases).

Merci à Glapion, j'aime beaucoup ta méthode par élimination concernant la première question

Bonne soirée à vous !



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