bonsoir
je voudrais bien vous aider mais je pense qu'il ya une érreur dans
votre énoncé.

Une erreur par rapport à koi ? L e but de l'xo est de montrer
que le triangle OM1M2 est équilatéral .

bonjour

regardez ces calculs et vous allez voir qu'il y a une erreur dans votre
énoncé.

pour prouver que :

OM1=M1M2 équivaut à |z+1|²=2|z|²

avec

z1= (1+i/2 )(z+1)    : affixe du point M1.
z2=(1-i/2)(z+i)        : affixe du point M2.
z                                  : est l'affixe du point M .


on a besoin de calculer |z1|=||OM1|| et |z2-z1|=||M1M2||

car dans ce cas
||OM1||=||M1M2|| équivaut à ||OM1||²=||M1M2||²
                                 équivaut à |z1|²=|z2-z1|²

mais |z1|²=|(1+i/2 )(z+1)|²=|1+i/2|²|z+1|²
                 = (1+(1/2)²)|z+1|²
                 = 5/4|z+1|²
                 =5/4(z+1)(Z+1)   ; Z est le conjugué de z (Z=zbare)
                 =5/4(zZ+z+Z+1)

et

|z2-z1|²=|(1-i/2)(z+i)-(1+i/2 )(z+1)|²
              =|z((1-i/2)-)-(1+i/2 )) +i+1/2 +1+i/2|²
              =|z(-i) +3/2 + 3i/2|²
              =|(-i)(z +3i/2 - 3/2)|²
              =|(-i)|².|z +3i/2 - 3/2|²
              =|z +3i/2 - 3/2|²
              =(z +3i/2 - 3/2)(Z-3i/2-3/2)  ; car |a|²=a(abare)
              =(zZ+3i/2(Z-z)-3/2(z+Z)+18/4)

|z1|²=|z2-z1|²  est donc équivalente à:

5/4(zZ+z+Z+1)=(zZ+3i/2(Z-z)-3/2(z+Z)+18/4)

ssi zZ/4 +11/4(z+Z)-13/4-3i/2(Z-z)=0

ssi zZ +11(z+Z)-13-6i(Z-z)=0

alors que la relation :|z+1|²=2|z|² que vous essayez de montrer est équivalente
à :

zZ+z+Z+1=2zZ  ssi zZ-z-Z-1=0 ssi zZ=z+Z+1

s'il elle était équivalente à zZ +11(z+Z)-13-6i(Z-z)=0

on aura z+Z+1+11(z+Z)-13-6i(Z-z)=0

ssi 12(z+Z)-12-6i(z-Z)=0

ssi z+Z-i/2(Z-z)=1

comme z+Z=2Re(z)  et z-Z=2iIm(z)

2Re(z)+Im(z)=0

ssi Re(z)=-Im(z)/2 donc z=Re(z)+iIm(z)=Im(z)(-1/2+i)

donc M appartiendrait à la droit (O,u) avec u=(-1/2,1)

et non pas la médiatrice du segment des deux points A(-1,0) et O(0,0).

voila pourquoi je pense qu'il ya une erreur.