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geometrie et limites

Posté par dol (invité) 11-12-04 à 11:16

J'ai un peu de mal avec ce petit probleme si vous pouviez m'aider, merci d'avance

A et B sont 2 points non diamétralement opposés sur le cercle (c). M est le milieu de l'arc AB de mesure inférieure à π. Les tangentes  en A et B se rencontrent en T et la tangente en M au cercle recoupe la droite (AT) en A' et (BT) en B'. Trouver la limite du rapport des aires des triangles (TAB) et (TA'B') quand "l'arc AB tend vers zéro"

Posté par
isisstruiss
re : geometrie et limites 11-12-04 à 13:04

Si j'ai bien compris le problème, sans aucun calcul je répondrais que la limite du rapport sera 1. Il faut remarquer que la droite AB est parallèle à A'B'. Quand B s'approche de A, la droite AB s'approchera de la tangente au point M et le rapport des surcaes s'approche de 1. Mais bon, c'est une intuition et pour tirer les choses au clair il faut écrire les choses rigoureusement.

Isis

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 14:28

Comment prouve-tu que A'B' est parallèle à AB ?

Posté par
isisstruiss
re : geometrie et limites 11-12-04 à 14:47

Si tu fais une droite d passant par le centre du cercle et par le point M tu pourras dire que d est perpenduculaire à la tangente en M (propriété de la tangente à un cercle) et d est perpendiculaire à la droite AB (car CM est la bissectrice de ACB).

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 15:13

d'accord, mais alors comment prouves-tu que A'B' tend vers AB

Posté par
isisstruiss
re : geometrie et limites 11-12-04 à 15:56

J'ai pas de preuve formelle, mais tu peux essayer de comprendre en fixant M et faisant A et B s'approcher de M. La droite AB sera toujours perpendiculaire à CM et elle se déplacera en s'approchant de la tangente. À la limite A et B vaudront M et la dernière droite perpendiculaire à CM qui touche le cercle est bien la tangente.

Pour le démontrer formellement tu peux soit écrire les équations du cercle et des droites, soit dessiner le tout et je pense que tu peux trouver une justification avec des similitudes de triangles.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : geometrie et limites 11-12-04 à 16:31

Se méfier des intuitions surtout dans des rapports qui s'approchent de 0/0.
-----
Poser angle(AOB) = x pour faciliter l'écriture.

Dans le triangle OAT:
OA = OT.cos(AOT)
R = OT.cos(x/2)
OT = R/cos(x/2)
---
MT = PT - OM
MT = [ R/cos(x/2)] - R = R.(1-cos(x/2))/cos(x/2)
---
Dans le triangle OSA:
OS = OA.cos(AOS)
OS = R.cos(x/2)
---
ST = OT - OS
ST = R/cos(x/2) - R.cos(x/2)
ST = R(1- cos²(x/2))/cos(x/2)
---
ST/MT =  [R(1- cos²(x/2))/cos(x/2)]/[R.(1-cos(x/2))/cos(x/2)]
ST/MT = R(1-cos²(x/2))/(1-cos(x/2))
ST/MT = R(1-cos(x/2))(1+cos(x/2))/(1-cos(x/2))
ST/MT = 1+cos(x/2)
---

Les triangles ABT et et A'B'T sont semblebles (de même forme)
-> le rapport de leurs aires = (le rapport de leurs mongueurs correspondantes)²

Aire(ABT)/Aire(A'B'T) = (ST/MT)²
Aire(ABT)/Aire(A'B'T) = (1+cos(x/2))²

lim(x -> 0) [Aire(ABT)/Aire(A'B'T)] = lim(x->0) [(1+cos(x/2))²] = (1+1)² = 4

Donc, l'arc AB tend vers zéro, on a Aire(ABT)/Aire(A'B'T) qui tend vers 4
-----
Sauf distraction (et après un bon Haut-médoc, donc méfiance accrue ).





geometrie et limites

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 16:34

merci pour ton aide J-P, t'es super

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 16:48

tu peux m'expliquer OA = OT.cos(AOT) et OS = OA.cos(AOS)

Posté par Emma (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 16:54

Salut dol

Le fait que (AT) soit tangente au cercle de centre O et de rayon [OA] te permet d'affirmer que le triangle PAT est rectangle en A...

Tu peux donc utiliser la trigonométrie dans ce triangle rectangle...
On a donc cos(\widehat{AOT} = ...

@+
Emma

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 16:56

d'accord, j'ai compris, merci de votre aide

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 18:28

si l'arc AB tend vers zero alors l'angle AOB tend vers zero. Vous croyez qu'il faut l'expliquer, si oui comment le feriez vous de maniere simple?

Posté par Emma (invité)re : geometrie et limites 11-12-04 à 19:24

Pour ma part, je dirais simplement que la longueur de l'arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle du secteur de disque qui le définit.
Mais je ne sais pas si ça te suffit...

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 12-12-04 à 11:08

j'arrive toujours pas à comprendre pourquoi A'B' est parallèle à AB

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : geometrie et limites 12-12-04 à 21:25

La médiatrice d'une corde d'un cercle passe par le centre du cercle.
-> OT et AB sont perpendiculaires.

Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de tangence ->
A'B'  est perpendiculaire à OM (donc à OT)

AB et A'B' sont donc perpendiculaires à OT ->  AB et A'B' sont parallèles.

Sauf distraction

Posté par dol (invité)re : geometrie et limites 12-12-04 à 21:34

merci à tous pour votre aide!!



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