Pour faire de la géométrie, nous avons besoin de la multiplication.
Pour faire une multiplication, nous avons besoin de chiffres et de nombres qui peuvent être entiers, premiers, irrationnels, …
Avec l'algèbre moderne, nous pouvons manipuler les nombres comme des entités abstraites. Par exemple, on peut multiplier 2 par 3 qui donne 6. Mais 6 quoi ?  6 en longueur, en surface, en volume, … cela dépendra des unités employées.
Un autre exemple, si on cherche la racine carrée de 9 cm2, cela donnera 3 cm qui correspondra au coté d'un carré. Ce qui revient à dire qu'une longueur de 3 cm que multiplie une longueur de 3 cm nous donnera une surface de 9 cm2.
On peut conclure de l'exemple ci-dessus que la multiplication permet de passer de nombres en dimension 1 à un nombre en dimension deux, c'est-à-dire d'élever la dimension de +1.

Mais, Newton, comme de nombreux savants de son époque, hésitait à mélanger les nombres de dimensions différentes. Malgré son génie, manquait-il de clairvoyance quant à la puissance de la nouvelle algèbre ou bien était-il plus proche d'une réalité physique, sous-jacente aux bases des mathématiques comme la multiplication, et avait-il perçu un concept que les générations futures ont éclipsé ?

Que cherche-t-on à représenter physiquement par une multiplication élémentaire comme, par exemple, 1 cm que multiplie 1 cm ?
Tout simplement, un carré d'une surface de 1 cm2 avec donc des cotés perpendiculaires.
Il s'en suit que si l'on voulait égaler la surface d'un cercle avec ces carrés élémentaires, il est évident que c'est mathématiquement, et à fortiori physiquement, impossible.
C'est physiquement impossible car on ne peut égaler une surface courbe comme un arc de cercle par une droite qui serait le coté d'un carré élémentaire.

La formule qui nous donne l'aire d'un cercle, soit S = Pi R2 n'est donc qu'une approximation. Et au vu de la signification géométrique de la multiplication, ce n'est pas cette formule qui est biaisée mais l'essence meme de la multiplication.

Evidemment, on peut prendre plus de chiffres après la virgule, ce qui revient à prendre un carré élémentaire encore plus petit. On peut ajouter un postulat en admettant qu'à l'infini, le coté d'un carré élémentaire est égal à un arc élémentaire de cercle.
Mathématiquement, cela signifie qu'il y a une distance infinitésimalement petite, mais finie, telle que le coté d'un carré soit égal à un arc de cercle. Or, il n'existe pas de distance infinitésimale finie puisque l'ensemble des nombres est infini.

La conclusion qui s'impose est que la multiplication usuelle, qui revient géométriquement, à travailler avec des carrés élémentaires, ne peut qu'approximer ce qui n'est pas droit (au sens géométrique). Le résultat d'une multiplication, dans le cas où il symboliserait une surface, ne serait donc qu'une approximation due à la multiplication. D'ailleurs personne n'a pu vérifier les chiffres physiquement significatifs du nombre Pi.

Prenons le périmètre d'un cercle, c'est manifestement une longueur finie. Or, notre formule : P = 2 Pi R, donne une longueur non finie puisqu'il y a des milliers de chiffres après la virgule et ceci sans fin.

Est-ce le nombre Pi qui est infini ou est-ce notre multiplication qui, par essence, ne peut donner la valeur exacte ?

Prenons un autre exemple afin de mieux cerner le problème : soit la droite suivante d'une longueur mathématique exactement égale à 2 : ________________________
Replions maintenant cette droite sur elle-même pour former un cercle. Désormais, nous sommes incapables par une multiplication, quelle que soit la formule utilisée, de retrouver cette distance exacte.

C'est donc la multiplication qui est en cause, ou au moins, la manipulation du concept de multiplication. Le nombre Pi a été trouvé en utilisant le théorème de Pythagore H2 = A2 + B2 par une approximation du périmètre du cercle par des droites infinitésimales. Or, la multiplication nous fait travailler, géométriquement, avec des carrés élémentaires. Et nous avons vu qu'il est impossible d'égaler une courbe par une ligne droite d'un carré élémentaire.

Ce qui signifie que la transcendance de Pi est du à la multiplication et cela démontre géométriquement l'impossibilité de la quadrature du cercle.

C'est donc, comme Newton l'avait pressenti, le concept de multiplication et son utilisation qui est biaisé pour représenter correctement non seulement des réalités physiques (ex : périmètre) mais également des abstractions mathématiques (ex : surface d'un cercle).

Le fait de multiplier deux nombres nous donne accès à une dimension supérieure qui ne peut être, par le concept meme de multiplication, qu'une approximation.

Une multiplication n'étant qu'une approximation mathématique, en prendre sa racine carrée revient à prendre une approximation d'approximation (nonobstant les cas fortuits de quelques nombres comme 5x5 = 3x3 + 4x4).

Si on représente l'entière réalité physique (courbe, ellipse, …) que par des manipulations mathématiques (équations constituées de produits, …), c'est donc notre concept de multiplication dans son emploi qui est à revoir.

En guise de conclusion, on peut se poser les questions suivantes : Existe-t-il une multiplication qui puisse donner mathématiquement et physiquement (en dehors des approximations des mesures physiques), par son concept meme, la valeur exacte ?
Et permettre ainsi de passer d'une dimension à l'autre avec une égalité, au moins, mathématique ?