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Géométrie et nombre complexes

Posté par
Charles01 21-01-18 à 16:14

Bonjour,

j'ai cet exo à faire :
Soit A,B,C trois points du plan complexe d'affixes respectives a,b et c
Démontrer
A,B,C alignés \Leftrightarrow(b-a)(cbarre - abarre) = (bbarre - abarre)(c-a)


J'ai pensé à calculer les arguments des vecteurs AB et AC.
Suis-je sur la bonne piste?

merci de m'éclairer

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 16:27

Bonjour,
Normalement, a, b, c distincts doit être écrit quelque part dans l'énoncé.
Tu es sur la bonne piste. Mais c'est leur double que l'on peut, non pas calculer, mais comparer.

\frac{b-a}{\bar{c}-\bar{a}} = \frac{\bar{b}-\bar{a}}{c-a} \: \Leftrightarrow \: \frac{b-a}{\bar{b-a}} = \frac{\bar{c-a}}{c-a}

Utiliser arg (\bar{z}) = - arg(z) \; \; mod\: 2\pi

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 16:27

oui.

arg(AB) -  arg (AC) = 0 ou pi [2pi]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 16:32

Citation :
arguments des vecteurs AB et AC.

On parle d'argument pour des complexes non nuls.
Pour des vecteurs, on parle de mesure de l'angle avec le premier vecteur du repère.

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 16:33

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 16:36

Ah oui bien sur ! Après ce que dit Sylvieg, vu que l'on a une division on multiplie par le conjugué ! Enfin je pense résonner comme cela.
Merci pour votre aide!

Et non il n'est pas marqué distinct dans l'énoncé.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 17:28

Ce qu'il faut utiliser, c'est (\vec{u},\vec{AB}) = arg (b-a) \;mod (2\pi ) .
Où \vec{u} est le premier vecteur du repère.

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 18:07

Sylvieg a parfaitement raison concernant les notations .
Je vais donc réécrire proprement ce que j'ai écrit plus haut :

A, B et C distincts et alignés
(AB ; AC) = 0 ou pi [2pi]
(u , AC) - (u ; AB) = 0 ou pi [2pi]
arg(c - a)  -  arg(b - a) = 0 ou pi [2pi]
etc...

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 18:38

D'accord.
Voici ce que j'ai fait :
\Leftrightarrow \frac{c-a}{b-a} = \frac{cbarre - a barre}{bbarre - abarre} \Leftrightarrow \frac{c-a}{cbarre - abarre} = \frac{b-a}{bbarre - abarre} \Leftrightarrow (c-a)(bbarre - abarre) = (b-a)(cbarre - a barre) ou (b-a)(cbarre - abarre) = (c-a)(bbarre - abarre)

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:02

C'est pas très lisible.
Malgré tout, je sais pas si tu sais où tu vas...
Pourquoi avoir abandonner l'idée de
"J'ai pensé à calculer les arguments des vecteurs AB et AC. "
On t'a dit que tu étais sur la bonne piste.

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:09

Pardon en fait j'essaye de calculer les arguments,
arg(\frac{c-a}{b-a})
et puis après je montre ce que j'ai fait dans le message précédent.

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:17

Je veux bien.
Mais quel est le lien entre ce que tu écris 21-01-18 à 18:38
et le calcul de l'argument de (c-a)/(b-a) dont on sait qu'il vaut 0 ou pi [2pi]

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:23

le lien que je trouve est que <=> (c-a) = (c barre - a barre) et
<=> (b-a) = (b barre - a barre) donc
<=> (c-a)/(b-a) = (c barre - a barre)/ (b barre- a barre)

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:26

oui c'est ça.
Mais d'où sort le :  (c-a) = (c barre - a barre)
Tu ne le dis pas dans ta démonstration.
car, dans le cas général, Z n'est pas égal à son conjugué.

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:35

je l'admets, a-t-on besoin de le démontrer? car si je l'admets mais que l'on voit à la fin que c'est vrai à-t-on toujours besoin de le démontrer?

Posté par
pgeodre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:39

on va raccrocher les wagons :

A, B et C distincts et alignés
(AB ; AC) = 0 ou pi [2pi]
(u , AC) - (u ; AB) = 0 ou pi [2pi]
arg(c - a)  -  arg(b - a) = 0 ou pi [2pi]
arg (c-a)/(b-a) =  0 ou pi [2pi]
(c-a)/(b-a) est réel
(c-a)/(b-a) est égal à son conjugué
(c-a)/(b-a) = [(c-a)/(b-a)]bar

A toi, pour terminer. Je quitte l'île.

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 19:49

(c-a)/(b-a) = [(c-a)/(b-a)]bar
ensuite
(c-a)((b-a)bar) = (b-a)((c-a)bar)
on retrouve l'égalité donc A B C alignés

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 20:57

Bonsoir,
@pgeod,
j'avais dans l'idée un autre cheminement ; mais ce que tu proposes est beaucoup plus élégant.

@Charles01,
il ne s'agit pas de conclure "donc A B C alignés", mais de démontrer une équivalence.
A 19h39 pgeod démontre A, B et C distincts et alignés (c-a)/(b-a) = [(c-a)/(b-a)]bar

Il te reste à démontrer (c-a)/(b-a) = [(c-a)/(b-a)]bar (b-a)(cbarre - abarre) = (bbarre - abarre)(c-a)

Pour pouvoir conclure A, B et C distincts et alignés (b-a)(cbarre - abarre) = (bbarre - abarre)(c-a)

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 21:13

On a :
\frac{c-a}{b-a} = \frac{cbarre - abarre}{bbarre - abarre}
on peut dire que l'on multiplie (c-a) et (bbarre - abarre) puis (b-a) par (cbarre - abarre) car nous avons montré que  \frac{c-a}{b-a} = \frac{cbarre - abarre}{bbarre - abarre}

Posté par
Priamre : Géométrie et nombre complexes 21-01-18 à 22:38

Ne pourrait-on pas dire simplement ceci :
Selon l'égalité écrite dans ce dernier message, le nombre  (c - a)/(b - a)  est égal à son conjugué. Il est donc réel.
Or, c'est bien le cas ici, puisque les vecteurs AB et AC sont colinéaires et qu'on a donc
AC/AB = k , soit (c - a)/(b - a) = k .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 10:38

Bonjour à tous,
J'insiste sur le fait qu'il ne s'agit pas de démontrer des points alignés ou une égalité,
mais une équivalence entre trois points alignés et une égalité.

Si on ne veut pas avoir à faire une réciproque, il faut proscrire les "donc" et "on a".

Partir avec trois points distincts A, B, C d'affixes a, b, c .
Utiliser les propositions équivalentes écrites par pgeod à 19h39 hier,
et prolonger pour tomber sur (b-a)(cbarre - abarre) = (bbarre - abarre)(c-a) .

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 10:45

salut,
d'accord avec Priam sur le principe

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 10:58

On suppose que A et B sont distincts (sinon les points sont alignes)
les propositions suivantes sont equivalentes:

\\ $A,B,C sont alignes$ \\ \\ $il existe un réel t tel que $ \vec{AC}=t\vec{AB} \\ \\ $il existe un réel t tel que $ c-a=t(b-a) \\ \\ \dfrac{c-a}{b-a}$ est réel$ \\ \\ \dfrac{c-a}{b-a}=\bar{\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)} \\ \\ $AQT$ \\

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 11:36

Les points A, Q, T sont alignés ?

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 11:54

pour les non inities Ane Qui Trotte (==le lecteur finira aisement la demo)

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 19:35

Merci j'y travaille
Par contre comment faites-vous pour avoir les conjugués dans LaTex?

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 20:08

\bar{objet}

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 21:53

D'accord voici comment j'allais le rédiger alors
Nous cherchons à montrer que A,B,C alignés <=> (b-a)(\bar{c-a})= ((\bar{b}-\bar{a})(c-a)
A,B,C alignés ssi l'argument des vecteurs AB et AC est égal à un imaginaire pur ou a pi/2 [2pi]

\vec{AB} = b-a et \vec{AC}= c-a
Il existe un réel x tq c-a = x(b-a)
On a
\Leftrightarrow \frac{\bar{c-a}}{\bar{b-a}} = \frac{c-a}{b-a} \Leftrightarrow (\bar{c-a})(b-a)=(\bar{b-a})(c-a)

On a donc montré que les points A,B et C étaient alignés.

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:03

il faut choisir entre les 2 demos:
1/ avec les arguments
2/ sans eux
ne pas melanger les 2

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:05

D'accord j'enlève la partie où je dis qu'il existe un réel x tel que etc

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:11

passer par les arguments ne me semble pas le meilleur choix

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:13

pourquoi?

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:15

ma demo de 10h58 se termine en 2 lignes

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:17

Ah oui, est-ce que ce que j'ai posté à 21h53 après le "on a" est la fin de cette démo?

Posté par
alb12re : Géométrie et nombre complexes 22-01-18 à 22:45

oui c'est correct

Posté par
Charles01re : Géométrie et nombre complexes 23-01-18 à 20:08

Merci.


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