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Géométrie et nombres réels

Posté par
H_aldnoer 11-10-05 à 21:00

Encore un exerice ou j'ai du mal !

Une conséquence de l'irrationalité de \rm \sqrt{3} :
   on ne peut pas construire un triangle equilateral dont les sommets sont a coordonées entieres.

Soit dans un repère orthonormée \rm (O,\vec{i},\vec{j}).
   \rm A un point de coordonées \rm (a,0) avec \rm a\in\mathbb{Z}
   \rm B un point de coordonées \rm (x,y)

Montrer l'implication suivante :
   [\rm \sqrt{3} non rationel]\Longrightarrow[il n'est pas possible de construire un triangle equilateral \rm OAB avec \rm x et \rm y\in\mathbb{Z}]

merci d'avance.

Posté par
robby3re:Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 21:26

salu H_aldnoer,je pense qu'il doit y avoir une histoire de coordonnées polaires mais je vois vraiment pas,surtout avec a,x,y apartenant à Z.il doit aussi y avoir une histoire de mediatrice passant par o(pour trouver le rapport avec le sqrt(3)).mais c'est juste une intuition et comme elles sont pas souvent excellente je te laisse trouver(j'ais un devoir d'optique samedi de 8h à 12 h mais promis pendant les vacances je serais trés present)

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 21:29

salut,

et dsl en ce moment j'ai des soucis d'ordi je te dit même pas ou je suis connecté (heureusement qu'il y a le libre acces a la fac )
je te recontact promis des que mon fai (fournisseur d'acces internet) me repare tout ca...

je vais bosser sur ce que tu m'a dit mais si quelqu'un aurait une autre idée qu'il n'hésite pas !

Posté par
kachouyabre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 21:44

Bonsoir

Supposons qu'on peut construire un triangle équilatéral OAB avec; x et y des entiers relatifs non nuls.
Dans le repère orthonormée (O;i;j) on a;   x=a/2   et   y=a3/2
donc  3=2y/a=y/x 3  (absurde)

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 21:50

Bonjour kachouyab,

pourquoi a t on :
   \rm x=\frac{a}{2}
et :
   \rm y=a\frac{\sqrt{3}}{2}

?
merci encore.

Posté par
kachouyabre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 22:49

Bonjour
Essaye de tracer le triangle équilatéral OAB ds le repère.
la projection de B sur l'axe (O:i) est le milieu du segment [OA].
tu peux donc déduire les coordonnées du point B.

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 22:52

Ah ok !

j'ai compris pour le \rm x=\frac{a}{2} ;

mais pour \rm y=a\frac{\sqrt{3}}{2} ?!?

Posté par
kachouyabre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 23:08

projette B sur l'axe (oj) et utilise pythagore.

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 23:09

en projetant sur l'axe (oj) je me retrouve avec deux inconnus :

- l'hypothenuse
- y

je sais seuleument que x=\frac{a}{2}

donc comment utiliser Pythagore ?

Posté par
kachouyabre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 23:17

N'oublie pas que le triangle est équilatéral  donc    0B=a

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 11-10-05 à 23:18

merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Géométrie et nombres réels 12-10-05 à 01:28

Bonsoir;
H_aldnoer,tu peux généraliser ton problème en montrant qu'il n'existe pas de triangle équilatéral non trivial à coordonnées rationnelles dans un repére orthonormé de son plan.
Sauf erreur...

Posté par
H_aldnoerre : Géométrie et nombres réels 24-10-05 à 20:51

H_aldnoer,tu peux généraliser ton problème en montrant qu'il n'existe pas de triangle équilatéral non trivial à coordonnées rationnelles dans un repére orthonormé de son plan.
Sauf erreur...

... et comment ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Géométrie et nombres réels 10-12-05 à 13:34

Par l'absurde;
le plan 3$(\scr P) étant muni du repére orthonormé \scr R=(O,\vec{i},\vec{j}) supposons que ABC soit un triangle équilatéral non trivial dont les sommets sont à coordonnées rationnelles dans le repére \scr R.On peut alors écrire:
2$\fbox{|sin((\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}))|=|\frac{\det(\vec{AB},\vec{AC})}{AB\times AC}|} c'est à dire que 4$\blue\fbox{sqrt3=2\frac{|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|}{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}} et 3$sqrt3 serait rationnel ce qui est absurde.
Sauf erreurs bien entendu


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