Il me semble avoir déjà vu un problème similaire.

 Cliquez pour afficher

Le centre du cercle est à l'extérieur du polygone si et seulement si les points sont tous sur un demi cercle.
De là on peut déduire que la probabilité que le centre du cercle soit à l'intérieur du polygone est

Bonjour,

Commençons petit, avec trois points et un triangle inscrit. L'angle au centre géométrique entre les deux premiers points, appelons-le , est uniformément réparti sur . L'arc sur lequel on peut placer le troisième point pour avoir un triangle inscrit contenant le centre du cercle à l'intérieur est d'ouverture (diamétralement opposé à l'arc d'extrémité les deux premiers points). La probabilité d'avoir un triangle inscrit avec le centre à l'intérieur est donc



Après, ça se corse.

On est d'accord mais comment tu calcules la probabilité que tous les points sont sur un demi-cercle ?

Ma réponse précédente s'adressait à Littlefox, ceci dit je suis aussi d'accord avec GBZM qui pour le coup a démontré son résultat. C'est bien, ça avance

Démontrer le résultat général est en fait plus simple : l'événement "le polygone inscrit ne contient pas le centre en son intérieur" est la réunion disjointe des événements "le demi-cercle (dans le sens direct) d'origine le point n° contient les autres points" pour .

Effectivement, il y a plusieurs démos mais c'est de loin la plus jolie à mon gout.
Bravo à tous les 2, belle efficacité, vous pouvez vous attaquer au premier problème si vous êtes inspirés.