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Niveau terminale
Geometrie et Produit scalaire
Posté par Pauli2606
Bonjour, j'ai un problème avec l'exo suivant :
dans la question 3a, je n'arrive pa sà caluler les coordonnées K de ce projeté, ce n'est pas demandé mais je pense que c'est utile dans la question 5, pour calculer CK.CO. Et ainsi calculer L'aire de la question 6.
Merci d'avance pour votre aide
L'espace est muni d'un repère orthonormal ( O; i; j; k )
On considère les points : A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B(0 ; 1 ; 0) , C ( 0 ; 0 ; l ) et H (2/9;4/9;4/9)
1) a) Determiner un vecteur normal non nul tel que :
n.AB=0 et n.AC=0
b) En déduire une équation du plan (ABC).
2) Démontrer que la perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point O, coupe le plan (ABC) en H.
3) a) Démontrer que la droite (AB) est orthogonale au plan (OCH) .
b) Démontrer que les points O et C ont le même projeté orthogonal sur la droite (AB).
On appelle K ce projeté.
4) En déduire une valeur approchée de cos (CH,CO)
5) Calculer de deux façons différentes le produit scalaire CK.CO
et en déduire une valeur approchée de CK.
6) Calculer l'aire du triangle ABC.
Bonsoir
je présume que C est (0,0,1)
=>
1b) x+ 2y + 2z - 2 = 0
2) la perpendiculaire à ABC passant par O a pour équations paramétriques
x = k ; y = 2k ; z =2k
=> k + 4k + 4k - 2 = 0 => k =2/9
=> H = (2/9, 4/9 , 4/9)
3)a) AB = (-2, 1, 0) et AB*OC = -2*0 + 1*0 + 0*0 = 0 ; AB*OH = -2*2/9 +1*4/9 + 0*4/9 = 0 => AB est perpendiculaire à OCH
b)AB est perpendiculaire à OCH donc comme AB est orthogonale à toutes les droites de OCH , AB est perpendiculaire à CH ( AB et CH sont sécantes) et AB est orthogonale à CO => on a que la projection de O sur AB et de C sur AB est K le point d'intersection de AB et OCH
*
Pour trouver la coordonnée de K on pourrait chercher le point d'intersection de HOC ( équation à chercher) avec AB
ou bien appeler K = (x(K), Y(K), z(K)) et écrire que K appartient à AB , que CK*AB = 0 , que OK*AB = 0 => K =
K appartient à AB et à CH
*
4)CH = (2/9, 4/9, -5/9) ||CH||² = 45/81 => ||CH|| = 
5/3 ; avec CH*CO =||CH||.CO||.COS(CH,CO) on peut chercher cos (CH,CO)
mais vu la question 5 ce ne serait pas plutôt chercher le cos(CK,CO)
5)CK*CO = ...
6)aire ABC =||AB||.||CK||/2
A+