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Géométrie et vecteurs dans l espace : problème

Posté par whitedream123 (invité) 04-03-05 à 14:35

Bonjour !!

J'aurais grand besoin d'aide afin de résoudre ce problème :?qui à pour thème la géométrie et les vecteurs dans l'espace.
Merci d'avance!

Soit ABCD un tétraèdre. (Qui a pour sommet A, et pour base le triangle BCD).
On considère les points E, F, G, H, I et J milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA], [BD] et [CA].

a) Démontrer que les quadrilatères EFGH et EJGI sont des parallélogrammes.
b) Démontrer que les segments [EG], [FH] et [IJ] se coupent en leur milieu O.
c) Démontrer que \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}   (1).
d) On considère le repère (A; \vec{AB};\vec{AC};\vec{AD}).
Déduire de (1) les coordonnées du point O.
e) Déterminer les coordonnées des points J, G et H.
f) Démontrer que \vec{OG}, \vec{OH} et \vec{OJ} ne sont pas coplanaires.

Merci beaucoup d'avance  

Posté par cjipe (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 16:18

tu as besoin du theorème de thales pour demontrer qui est // à qui de faire le schema avant tout; comment est ton tetraèdre régulier ou pas ? ensuite tu y verras plus clair
bon travail à +

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 17:07

bonjour,

je vais essayer de t'envoyer la figure apres avoir repondu aux 2 premieres questions;


1/. EFGH est un prallelogramme

dans le plan ABD et donc le triangle ABD EH=BD/2 et EH et BD sont paralleles. dans le triangle CBD FG et BD sont paralleles et FG = BD/2
donc EFGH est un parallelogramme

    EJGI est un parallelogramme il suffit de faire le meme raisonnement avec les triangles ACB et DCB.  donc EJGI est un parallelogramme.

2/. EG  FH et IJ se coupent en leur milieu .

EG et FH sont les diagonales du parallelogramme EFGH donc se coupent en leur milieu
IJ et EG  sont les diagonales du parallelogramme EJGI donc se coupent en leur milieu  . ils ont EG commun donc O le milieu est commun.
a plus tard pour la suite.

Géométrie et vecteurs dans l espace : problème

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 17:54

re,

\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 0

on décompose suivant la relation de chasles

\vec{OE} +\vec{EA} + \vec{OE} +\vec{EB} +\vec{OJ} +\vec{JC} +\vec{OI} +\vec{ID} = 0

\vec{EA}+\vec{EB} = 0
\vec{OJ}+\vec{OI} =0  digonale du parallelogramme

2\times\vec{OE} + \vec{JC} +\vec{ID} =0

2\times\vec{OE} =\vec{GE} = \vec{GF}+\vec{FE}=0
\vec{GF}+\vec{FE}+\vec{JC}+\vec{ID}=0  car

\vec{GF}+\vec{ID} = 0 car parallaele ,egaux et de sens contraire
\vec{FE}+\vec{JC}= 0 pour la meme raison
la proposition est donc demontree.

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 18:46

suite

4/. deduire de (1) les coordonnées de O

la relation (1) peut etre transformée en :

\vec{OA} +\vec{OA} +\vec{AB} +\vec{OA} +\vec{AC} +\vec{OA} +\vec{AD}=0

4\times\vec{OA} +\vec{AB}+\vec{AC} +\vec{AD} =\vec{0}

\vec{OA} = -\frac{1}{4}\times(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})

les coordonnées de  O dans le systeme donné dans l'énoncé sont :

(\frac{1}{4} ,\frac{1}{4} ,\frac{1}{4})

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 19:08

suite

5/.  coordonnées de J,G,H

pour J et H c'est un peu evident: J(0,1/2,0)
                                  H(0,0,1/2)
  
pour G on ecrit:

\vec{AG} = \vec{AC} + \vec{CG}
\vec{AG} = \vec{AD} +\vec{DG}

soit 2\times\vec{AG}= \vec{AC}+\vec{AD}


car \vec{CG}+\vec{DG}=\vec{0}   vecteurs opposés

les coordonnées de G sont (0, 1/2, 1/2 )

a plus taed pour la suite.


Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 04-03-05 à 19:29

la suite rapidement.

on a les coordonnées de  O G  H et J , on peut donc trouver les coordonnées  de OG , OH  et OJ ( vecteur )

on trouve OG ( -1/4 , 1/4 , 1/4 )
          OH ( -1/4 , -1/4 , 1/4 )
          OJ ( -1/4 , 1/4 , -1/4 )
on ne peut pas verifier que

\vec{OG}= a\times\vec{OH}+b\times\vec{OJ}  donc les vecteurs ne sont pas coplanaires

voila si tu as des questions je repasserai
a plus tard

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 05-03-05 à 14:52

bonjour

as-tu lu la reponse qui t'a été  faite ?

merci si je peux le savoir
et meme merci beaucoup d'avance

paulo

Posté par whitedream123 (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 05-03-05 à 15:01

merci beaucoup !!
c'est super !
pour les deux premières questions je comprends pas trop par contre, pourriez vous appronfondir? svp?

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 05-03-05 à 16:54

bonjour,

voila les précisions des 2 premieres questions.

1/.  On va prendre d'abord le cas de  EFGH celui qui est en rouge sur la figure.
le triangle ABD forme un plan (3 points)
E est le milieu de AB
H est le milieu de AD

\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2} = \frac{AH}{AD} = \frac{EH}{BD}

donc EH = \frac{BD}{2}

dans le triangle CBD ( C est le point caché de la base du tetraedre)

F est le milieu de CB
G est le milieu de CD

\frac{CF}{CB} = \frac{1}{2} =\frac{CG}{CD} = \frac{FG}{BD}

donc : FG = \frac{BD}{2}

donc EH = FG et d'apres thales EH et FG sont paralleles au meme segment BD . on peut conclure que EHFG est un parallelogramme.

Pour EJGI il faut raisonner de la meme maniere  avec les triangles ABC et DBC pour conclure que GI = EG et sont tous deux paralleles à CB . par consequent EJGI est un parallelogramme.



2/. EG et fh sont les diagonales du parallelogramme EHGF , elles se coupent en leur milieu et plus specialement le milieu de EG .
    JI EG sont les diagonales du parallelogramme EJGI , elles se coupent en leur milieu  et plus specialement au milieu de EG ;

donc toutes les diagonales de ces deux parallelogrammes se coupent au milieu de EG qui est leur diagonale commune.

Le milieu de EG est le point O .

voila dis moi si tu as encore des incomprehentions.
as- tu bien recu la figure?


a plus tard

Posté par whitedream123 (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 06-03-05 à 10:09

oui j'ai bien reçu l'image !
merci !
pour dire qu'une figure est un parallélogramme il suffit de dire que deux droites sont parallèles? ou bien il faut prouver que les deux autres le sont aussi?

merci énormément pour les questions sur les vecteurs, je n'aurais pas vu cela ! n'y a t'il pas une façon plus simple? est-ce donc bien juste?

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 06-03-05 à 10:51

bonjour,
comme cela a ete prouve , pour qu'une figure soit un parallelogramme il faut que deux droites soient paralleles et egales

FG = EH = \frac{BD}{2}

pour les vecteurs il y a 2 manieres de proceder: soit de ramener les vecteurs a leur coordonnées ou la relation de chasle ou la combinaison des 2

voila bon dimanche

PS pour prouver q'une figure est un parallelogramme revois ton cour
cela peut se faire avec les cotes ou les angles ou les diagonales.

Posté par whitedream123 (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 06-03-05 à 19:36

j'ai encore une question !!
les coordonnées de O ne serait-ce pas plutot (-1/4;-1/4;-1/4) ?
car on a : OA = -1/4 (AB, AC, AD) (vecteurs) donc ca me parait plus juste O(-1/4;-1/4;-1/4) que O(1/4;1/4;1/4) !

et je ne comprends pas les résultats des coordonnées des vecteurs OG, OH et OJ !
Merci d'avance !

Posté par
paulore : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 07-03-05 à 01:25

bonsoir,

c'est bien + 1/4 car c'est  A qui est l'origine et le sens positif  est AB , AC , AD (vectorieellement)

pour les coordonnées  OG par exemple , on a les abcisses et les ordonnees des points O et G la regle que tu pux comprendre en te faisant un croquis c'est

abcisse de vecteur OG c'est abcisse de G moins abcisse de O
ordonnee de vecteur  OG c'est ordonnee de G moins ordonnee de  O
pareil pour  z

voila  je repasserai demain
bonsoir

Posté par drogba57 (invité)aidez moi 08-03-05 à 15:48

pouvez vous mexpliquer plus en détail comment vous avez fait pour la question 3 et pour la 5 pour les points J et H
merci davance

Posté par EmGiPy (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 09-03-05 à 12:38

Yo ca veut dire quoi ca Matthieu lol tu comprend pas???? Meme moi du lux je comprend lol

paulo a tout bien expliqué

++ Matthieu ++

Posté par sibelle (invité)re : Géométrie et vecteurs dans l espace : problème 09-03-05 à 13:32

MERCI BEAUCOUP A PAULO CAR J'AI LE MEME DM ET J'AI COMPRIS LA QUESTION 3 ET 4 GRACE A LUI


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