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géométrie euclidienne

Posté par kristin (invité) 21-10-04 à 21:31

Bonjour à tous, j'ai des difficultées avec un exo de géométrie, j'espére k vous pouré m'aider; merci d'avance.

Dans l'espace R3, un plan P d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0 et M un point de coordonnées (x0,y0,z0)

1) Ecrire l'équation paramétrique de la droite passant par M et orthogonale à P.

2)Calculer les coordonnées du point p(M), projection orthogonale de M sur P.

3)En déduire la distance de M à P, puis les coordonnées du symétrique de M par rapport au plan P

Posté par Guillaume (invité)re : géométrie euclidienne 22-10-04 à 09:03

Salut,

1) la droite que tu cherches passe par M(x0,y0,z0) et a pour vecteur directeur un vecteur normal au plan.
Or pour un plan ax+by+cz=0 le vecteur normal est
u(a,b,c)

la droite s'ecrit (notation informelle):
D=M+k.u

soit
x=x0+ka
y=yo+kb
z=zo+kc

2)le point H=p(M) appartient au plan et a la droite donc ses coordonées verifient les deux relations:
(le systeme et l'equation du plan):
x(H)=x0+ka
y(H)=yo+kb
z(H)=zo+kc

a(x0+ka)+b(y0+kb)+c(z0+kc)+d=0
d'ou on tire k=-(ax0+by0+czo+d)/(a²+b²+c²)
d'ou x(H)=x0+ka
puis y(H) puis z(H).

3)ensuite
HM=rac[(xH-x0)²+(yH-yo)²+(zH-z0)²]

pour les coordonnées de M' on ecrit
HM'=MH (en vecteur)
les seules inconnues etant les coordonnées de M'

A+



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