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Géométrie euclidienne

Posté par
etienne91 16-08-18 à 10:55

Bonjour à tous,
J'ai essayé de refaire un exercice d'examen de géométrie, et je n'y arrive malheureusement pas. Voici le sujet :

Citation :
Soit un triangle ABC d'un espace affine euclidien \mathcal{E} et S, un point de \mathcal{E} n'appartenant pas au plan de ce triangle. Montrer que les angles du triangle ABC sont aigus, sachant que les droites SA, SB, et SC sont deux à deux perpendiculaires.


Dans un premier temps, j'ai exprimé la perpendicularité des droites SA, SB, et SC par le produit nul des vecteurs directeurs.

Ensuite, j'ai exprimé \cos(A) en fonction du produit scalaire des vecteurs directeurs (i.e \cos(A) = \frac{\left|\vec{AB} \cdot \vec{AC}\right|}{\left|\vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AC} \right|}).

J'ai aussi traduit ce que l'on cherchait à montrer sous forme d'une inégalité stricte : si l'angle enA est aigu, alors son cosinus est (en valeur absolu) strictement compris entre 0 et 1 (i.e : \cos(A) \in \left]0,1\right[). De fait, cela signifie que le produit des modules est strictement supérieur au module du produit scalaire.

Je prends soin d'exprimer le produit scalaire en fonction des vecteurs directeurs des droites SA, SB, et SC. Ainsi, j'obtiens : \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left|\vec{SA}\right|^{2}.
De même, j'exprime \left|\vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AC} \right| en fonction des vecteurs directeurs de SA, SB, et SC.

C'est la que ça coince : l'expression du produit des normes ne me permet pas de conclure, enfin, pas directement. Je sens qu'il manque une transformation, mais je ne vois pas la quelle.

Pouvez-vous m'aider à trouver cette dernière transformation ? Au contraire, auriez-vous une autre idée pour résoudre cet exercice ?

Merci d'avance,
Étienne.

Posté par
DOMOREAGéométrie euclidienne 16-08-18 à 11:04

bonjour,
si le produit scalaire est positif alors l'angle est aigu !

Posté par
etienne91re : Géométrie euclidienne 16-08-18 à 11:07

Ah... oui...
Bon, bah merci beaucoup ^^

Posté par
Glapion Moderateurre : Géométrie euclidienne 16-08-18 à 11:15

Bonjour, une idée est de prendre un repère centré en S et porté par les droites SA;SB;SC et de poser A(a;0.0) B(0;b;0) C(0;0;c)

puis calculer le produit scalaire AB.AC (en utilisant le formule XX'+YY'+ZZ) on trouve a²
on en déduit que le cosinus de l'angle (AB;AC) est positif et donc que l'angle est aiguë.
idem pour les deux autres angles.

Posté par
Glapion Moderateurre : Géométrie euclidienne 16-08-18 à 11:16

ha j'arrive trop tard, et en plus c'est ce que tu avais fait, j'avais lu trop vite ton post. il n'y avait que la conclusion qui manquait.


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