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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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géométrie euclidienne et arithmétique

Posté par
louetcharles
07-03-20 à 15:10

Bonjour à tous ,

Notre enseignant d'Arithmétique nous demande de démontrer que dans le plan euclidien

il existe n points vérifiant : " 3 quelconques de ces points ne sont pas alignés "

n entier supérieur ou égal à 3

Comment démarrer pour la démonstration?

Merci

Posté par
lafol Moderateur
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 15:19

Bonjour
récurrence ?

Posté par
louetcharles
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 15:39

Merci à vous Lafol

J'y avais pensé mais mon souci était l'initialisation car comment trouver les 3 points non

alignés de manière certaine qui prouvent que la proposition est vraie à un rang 1 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 17:55

t'es sérieux, là ? tu en places deux distincts, A et B, et un troisième ailleurs que sur la droite (AB) !

Posté par
carpediem
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 18:05

heureusement qu'il existe des (vrais) triangles !!!

Posté par
louetcharles
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 18:55

Excusez moi Lafol si ma remarque vous a paru absurde mais une étudiante  a demandé

au professeur qui lui a dit que dans ce cas il fallait démontrer  au préalable qu'il existait 3 points quelconques non alignés dans le plan euclidien .

C'est pour ça que je me suis permise ( je suis une femme) de poster cette remarque.

Excusez moi si vous avez le sentiment que je vous fais perdre votre temps

Posté par
louetcharles
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 18:58

Un autre étudiant m'a dit que c'était l'axiome 3 des axiomes d'incidence des Eléments d'Euclide et qu'il fallait le démontrer proprement effectivement....

Je suis d'accord avec Carpediem et  vous , ça paraît évident.
Comment le démontrer ?

Posté par
lafol Moderateur
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 20:01

S'il n'y avait pas de point en dehors de la droite (AB), le plan serait une droite ?

Posté par
carpediem
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 20:11

d'accord avec lafol ...

l'énoncé emploie le mot "plan" donc il n'est pas question de "redémontrer le plan" !!!

parce que sinon on redémontre aussi que 1 + 1 = 2

et ici ce n'est pas l'initialisation (existence de trois points non alignés) qui me semble le plus fondamental ...

sinon on parle aussi du plan défini sur le corps Z/2Z ... qui ne contient pas beaucoup de points effectivement et où le théorème est faux ...

Posté par
XZ19
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 20:56

Bonjour  
Le fait qu'il existe trois points non alignés dans un plan  ça ne se démontre pas  mais c'est implicitement formulé dans le 5ème postulat  d'Euclide.  


Maintenant  supposons qu'on ait n points  du plan qu'on peut  identifier à \R^2
il y  donc  n(n-1)/2  droites  distinctes  "interdites" pour le  n-éme  point. Mais chacune de ces droites  est un Borélien  de \R^2 de mesure nulle,  la réunion de ces n(n-1)/2  droites est de mesure nulle  alors il y a vraiment de la place pour trouver ce n+ième point.

Posté par
verdurin
re : géométrie euclidienne et arithmétique 07-03-20 à 22:06

Bonsoir,
le plan défini sur Z/2Z contient quatre points et on peut effectivement en trouver trois qui ne sont pas alignés : chaque droite contient exactement deux points.

J'ai l'impression que dans le plan défini sur Z/pZ, p étant un entier premier, on peut trouver au plus p+1 points vérifiant : " 3 quelconques de ces points ne sont pas alignés ".

Ensuite il faut savoir comment on défini un plan ( affine ou euclidien ).

Si on donne une axiomatique il y a un axiome qui affirme qu'il existe trois points non alignés.

Si on considère qu'il s'agit de l'espace affine canoniquement associé à l'espace vectoriel K2 où K est un corps, on peut démontrer qu'il y a trois points non alignés.
Par exemple (0;0), (0;1) et (1;0).

Enfin dans la géométrie euclidienne « classique » où on considère le plan R2 avec la définition précédente il n'y a pas de problème : on peut utiliser la démonstration de XZ19, en la rendant éventuellement un peu plus élémentaire.

Posté par
louetcharles
re : géométrie euclidienne et arithmétique 08-03-20 à 14:15

Merci à tous !

Pour clarifier les chose avec Verdurin , mon 1er post donnait l'énoncé qui parle de plan euclidien.

Beaucoup d' étudiants pensent utiliser la géométrie de Hilbert et ses axiomes qui reprennent les Eléments d'Euclide.

Je me permets , en espérant ne pas abuser de votre temps, de vous joindre la partie d'un cours que nous allons utiliser.

** image supprimée , ce n'était que du texte ! **



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