Bonjour
récurrence ?

Merci à vous Lafol

J'y avais pensé mais mon souci était l'initialisation car comment trouver les 3 points non

alignés de manière certaine qui prouvent que la proposition est vraie à un rang 1 ?

t'es sérieux, là ? tu en places deux distincts, A et B, et un troisième ailleurs que sur la droite (AB) !

heureusement qu'il existe des (vrais) triangles !!!

Excusez moi Lafol si ma remarque vous a paru absurde mais une étudiante  a demandé

au professeur qui lui a dit que dans ce cas il fallait démontrer  au préalable qu'il existait 3 points quelconques non alignés dans le plan euclidien .

C'est pour ça que je me suis permise ( je suis une femme) de poster cette remarque.

Excusez moi si vous avez le sentiment que je vous fais perdre votre temps

Un autre étudiant m'a dit que c'était l'axiome 3 des axiomes d'incidence des Eléments d'Euclide et qu'il fallait le démontrer proprement effectivement....

Je suis d'accord avec Carpediem et  vous , ça paraît évident.
Comment le démontrer ?

S'il n'y avait pas de point en dehors de la droite (AB), le plan serait une droite ?

d'accord avec lafol ...

l'énoncé emploie le mot "plan" donc il n'est pas question de "redémontrer le plan" !!!

parce que sinon on redémontre aussi que 1 + 1 = 2

et ici ce n'est pas l'initialisation (existence de trois points non alignés) qui me semble le plus fondamental ...

sinon on parle aussi du plan défini sur le corps Z/2Z ... qui ne contient pas beaucoup de points effectivement et où le théorème est faux ...

Bonjour  
Le fait qu'il existe trois points non alignés dans un plan  ça ne se démontre pas  mais c'est implicitement formulé dans le 5ème postulat  d'Euclide.  


Maintenant  supposons qu'on ait n points  du plan qu'on peut  identifier à
il y  donc  n(n-1)/2  droites  distinctes  "interdites" pour le  n-éme  point. Mais chacune de ces droites  est un Borélien  de de mesure nulle,  la réunion de ces n(n-1)/2  droites est de mesure nulle  alors il y a vraiment de la place pour trouver ce n+ième point.

Bonsoir,
le plan défini sur Z/2Z contient quatre points et on peut effectivement en trouver trois qui ne sont pas alignés : chaque droite contient exactement deux points.

J'ai l'impression que dans le plan défini sur Z/pZ, p étant un entier premier, on peut trouver au plus p+1 points vérifiant : " 3 quelconques de ces points ne sont pas alignés ".

Ensuite il faut savoir comment on défini un plan ( affine ou euclidien ).

Si on donne une axiomatique il y a un axiome qui affirme qu'il existe trois points non alignés.

Si on considère qu'il s'agit de l'espace affine canoniquement associé à l'espace vectoriel K² où K est un corps, on peut démontrer qu'il y a trois points non alignés.
Par exemple (0;0), (0;1) et (1;0).

Enfin dans la géométrie euclidienne « classique » où on considère le plan R² avec la définition précédente il n'y a pas de problème : on peut utiliser la démonstration de XZ19, en la rendant éventuellement un peu plus élémentaire.

Merci à tous !

Pour clarifier les chose avec Verdurin , mon 1er post donnait l'énoncé qui parle de plan euclidien.

Beaucoup d' étudiants pensent utiliser la géométrie de Hilbert et ses axiomes qui reprennent les Eléments d'Euclide.

Je me permets , en espérant ne pas abuser de votre temps, de vous joindre la partie d'un cours que nous allons utiliser.

** image supprimée , ce n'était que du texte ! **