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géométrie : le centre de gravité

Posté par hatemaths (invité) 28-02-05 à 12:57

Bonjour!
J'ai un exo en géométrie et je voudrais de l'aide pour la démonstration svp!(Je m'en arrache les cheveux)

un triangle ABC avec A' le milieu de [BC], B' milieu de [AC] et C' milieu de [AB]. Soit G le point d'intersection des médianes issues de B et C, càd (BB') et de (CC').
-On veut démontrer que la troisième médiane, issue de A, passe aussi par G, le centre de gravité du triangle.
Constuire le point E tel que B' soit le milieu de [EG] et F tel que C' le milieu de [FG].
-Montrer que les quadrilatères AGBF et AGCE sont des -parallélogrammes. Ecrire les égalités de longueur et les relations de parallélisme que l'on en déduit.
-Montrer que EFBC est aussi un parallélogramme et déduire que G est le milieu de [FC]et de [BE].
-Soit M le point d'intersection de (AG)et de (BC).Montrer que M est le milieu de [BC]et conclure.

Posté par
Nightmare
re : géométrie : le centre de gravité 28-02-05 à 14:00

Bonjour

1) \vec{GC'}=\vec{C'F}
=>
\vec{GC'}=\vec{C'B}+\vec{BF}
=>
\vec{GC'}+\vec{BC'}=\vec{BF}
Comme C' est le milieu de [BA] : \vec{BC'}=\vec{C'A}
donc
\vec{BF}=\vec{GC'}+\vec{C'A}
=>
\vec{BF}=\vec{GA}
=>
BFAG est un parallélograme .
donc :
\vec{FB}=\vec{AG}
\vec{BG}=\vec{FA}
De même :

\vec{GB'}=\vec{B'E}
=>
\vec{GB'}=\vec{B'C}+\vec{CE}
=>
\vec{GB'}+\vec{CB'}=\vec{CE}
=>
\vec{GB'}+\vec{B'A}=\vec{CE}
=>
\vec{GA}=\vec{CE}
=>
AGCE est un parallélogramme
donc
\vec{AG}=\vec{EC}
\vec{GC}=\vec{AE}

On remarque alors qu'on a :
\vec{AG}=\vec{FB} ( premier parallélogramme )
et
\vec{AG}=\vec{EC} ( deuxiéme parallélogramme )

Donc
\vec{FB}=\vec{EC}
d'ou
FBCE est un parallélogramme . On en déduit que G , intersection de ses diagonales , est le milieu de celle ci , donc de [BE] et [FC]

Allez , je te laisse en faire un peu et chercher la derniére question


Jord

Posté par hatemaths (invité)géométrie:centre de gravité 28-02-05 à 16:20

merci pour ces explications.

Pour la dernière question, je pux dire que M est le milieu de [BC]car (AM)est la troisième médiane passant par G, le centre de gravité du triangle ABC.
Sachant que le centre de gravité est l'intersection des trois médianes d'un triangle et que nous en avons déja deux ; (CC') et (BB') alors nous pouvons conclure en disant que (AM) est la troisième médiane du triangle.

Posté par
Nightmare
re : géométrie : le centre de gravité 28-02-05 à 16:23

Euh ... "je pux dire que M est le milieu de [BC]car (AM)est la troisième médiane passant par G, le centre de gravité du triangle ABC."
C'est ce qu'on cherche à démontrer , tu ne peux donc pas l'utiliser dans ta démonstration


jord

Posté par hatemaths (invité)géométrie:centre de gravité 28-02-05 à 17:13

snif...c vrai.Ne nous moquons pas de mes difficultés,svp.lol.

Pour moi, ça me semble évident mais difficile à expliquer.
(AM)est la troisième médiane du triangle car (AM)passe par G,qui est le point d'intersection des médianes (CC') et (BB')et donc le centre de gravité. Or, on sait que les médianes d'un triangle sont issues d'un sommet,A,et coupent le coté opposé [BC] en son milieu, le point M. Donc, M est bien le milieu de [BC].
En d'autres termes, si on a déja deux médianes qui se coupent en un point G, on peut affirmer que la troisième droite issue du sommet restant et passant par le point G est la troisième médiane de ce triangle,non?


Posté par
Nightmare
re : géométrie : le centre de gravité 28-02-05 à 18:15

C'est toujours la même chose , tu te sers de ce que l'on veut démontrer !

Il faut que tu démontres cela avec des égalités vectorielles .

Avec toutes celles que j'ai cités , tu ne devrais pas avoir de mal


Jord

Posté par hatemaths (invité)géométrie : centre de gravité 01-03-05 à 11:52

Bonjour,
j'ai un soucis tout de même...nous n'avons pas encore étudié les vecteurs en cours et je me demandais s'il n'y avait pas une autre méthode que les vecteurs pour résoudre mon problème?

Merci.

Posté par
Océane Webmaster
re : géométrie : le centre de gravité 01-03-05 à 11:54

D'où l'intérêt de préciser la classe ...

Posté par
Océane Webmaster
re : géométrie : le centre de gravité 01-03-05 à 14:18

Ok, je reprends alors

- Montrer que les quadrilatères AGBF et AGCE sont des parallélogrammes.
Je sais que : C' milieu de [FG] et C' milieu de [AB]
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc : AGBF est un parallélogramme.


Je sais que : B' est le milieu de [EG] et que B' est le milieu de [AC].
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc : AGCE est un parallélogramme.



Ecrire les égalités de longueur et les relations de parallélisme que l'on en déduit.
AF = BG
AG = FB
AG = EC
GC = AE

et (AF)//(BG)
(BF)//(AG)
(AG)//(EC)
(GC)//(AE)


Montrer que EFBC est aussi un parallélogramme et déduire que G est le milieu de [FC] et de [BE].
De AG = FB et AG = EC, on en déduit que FB = EC.
De (BF)//(AG) et (AG)//(EC), on en déduit que (BF)//(EC)
Donc le quadrilatère EFBC est un parallélogramme.

Ses diagonales [FC] et [BE] se coupent en leur milieu G.

A toi de reprendre, bon courage ...
Et si tu as des questions, n'hésite pas à les poster.

Posté par hatemaths (invité)géométrie :centre de gravité 01-03-05 à 20:10

bonjour!

c'est vraiment plus clair!

merci boucoup!

Posté par
Océane Webmaster
re : géométrie : le centre de gravité 01-03-05 à 20:51

De rien



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