Bonjour zazou;
Tu as:

de vecteurs normaux respectifs,

on remarque que:
et
et donc que:

ce qui veut dire que:

Conclure

Salut,

question 2) : Fonction complexe
question 3) : Fonction complexe bis

à+

Pour le 2
Z=1/(1+z+z^2)=(1/z)(1+(z+1/z))
pour z=exp(iu), Z=exp(-iu)/(1+2cosu), ce qui donne en coordonnées polaires t=-u et r=1/(1+2cost), ce qui est l'équation d'une hyperbole symétique par rapport à l'axe des x, qui coupe ce dernier aux points 1/3 et 1, son centre est donc le point d'affixe 2/3 et ses asymptotes ont pour directions +/- pi/3
Pour le 3, pour le cercle intérieur, on trouve quelque chose qui ressemble: z=exp(it)
Z=2exp(-it) cost, ce qui est l'équation du cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1
Pour l'image du cercle extérieur, z=2exp(it), Z=(1+exp(-2it)/4)=3/4+exp(-it)cost/2 soit Z-3/4=exp(-it)cost/2 qui est l'equation du cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1/4

ok merci, je vais regarder ça de + prés.

je ne comprends pas le2.Comment voit-on que c'est une hyperbole?
on a f(z)=rexp(it)

Apprend-on encore les équations polaires?
r(1+2cost)=1 donc r=1-2x ou encore x^2+y^2=(1-2x)^2
C'est une conique (équation cartésienne de  degré 2) et il y a des points à l'infini pour cost=-1/2 donc t=+/- 2pi/3

moi je connais l'équation d'1 hyberbole x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Non, zazou, l'équation que tu as écrite est celle d'une ellipse; l'hyperbole, il y a un signe -, mais alors elle a pour centre O (et des asymptotes symétriques par rapport aux axes...). En posant X=x-2/3 pour translater le centre, ça doit ressembler , non?

donc mon équation est du type (x-2/3)^2/a^2 - (y-2/3)^2/b^2 =1 ?
mais on est avec rexp(it)?!

Non, l'ordonnée du centre est 0
Pour passer de l'équation polaire à l'équation cartésienne, on a rcost=x, rsint=y donc r^2=x^2+y^2
Si r(1+2cost)=1, r=1-2x et en élevant au carré x^2+y^2=(1-2x)^2 soit
3x^2-4x-y^2+1=0 ou encore (x-2/3)^2/(1/3)-y^2=1/3
On retrouve bien (x-2/3)^2/a^2-y^2/b^2=1 avec a=1/3 b=1/rac(3)
Compris?

ah d'accord. C'est plus clair. merci

par contre pour le 2/ je trouve le cercle de centre 1/2 et de rayon 1/2. Ai-je fait une erreur de calcul. On pose bien r=cost t.
D'où r^2=x^2+y^2=x

en fait je voulais dire pour la question3/. le cercle intérieur.

Non r=2cost puisque cost=(exp(it)+exp(-it))/2

oups, en fait je me suis trompé dans l'énoncé: g(z)=1/2(z+1/z).
Ainsi
*cercle intérieur: g(z)=cos t
on pose r=cost
on passe en coordonnées cartésiennes en posant, x=rcost et y=rsint. D'où r^2=x^2+y^2=x
ce qui implique (x-1/2)^2+y^2=1/4
cercle de centre (1/2,0) et rayon 1/2.
*cercle extérieur: g(z)=1/2(2exp(it)+1/2exp(-it))
                       =exp(it)+1/4exp(-it)
                       =...  

Avec le nouvel énoncé(!) l'image du cercle intérieur, g(z)=cost, est le segment réel [-1,1]
celle du cercle extérieur g(z)=exp(it)+exp(-it)/4 donc x=5cost/4 y=3sint/4. l'image est donc l'ellipse de centre O, d'équation cartésienne x^2/25+y^2/9=16

ah bon pour le cercle intérieur, c'est un segment!mon équation n'est pas bonne,ce n'est donc pas le cercle de centre1/2 et de rayon 1/2?
par contre pour l'ellipse je suis larguée, je vais y réfléchir cet aprèm en espérant être inspirer!!!!

Dans l'équation de l'ellipse, lire 1/16 et non 16 au second membre...Pour le cercle intérieur g(z)=cost est un réel: ça ne peut donc être qu'une partie de l'axe des réels... C'est en fait une ellipse aplatie de petit axe nul; l'image de tout cercle intermédiaire du disque sera une ellipse

j'y ai réfléchi tout le week-end mais voilà ce que j'ai:

g(z)=cost=Re(z).
Or |z|<1 d'où |Re(z)|<1 d'où g(z)=[-1,1] segment réel

par contre pour le cercle extérieur:
on prend z tq |z|<2 soit z=2exp(it)
g(z)=exp(it)(1+1/4exp(-2it))
    =

je n'arrive pas à repasser en coordonnées cartésiennes?!!J'ai beau voir les formules trigo, rien ne m'inspire!!

on pose x=rcost et y=rsint mais que vaut r

Attention, je crois que tu confonds la variable et son image!
la variable z a pour argument t, mais son image Z n'a pas obligatoirement t comme argument. t sera ici simplement un paramètre en fonction duquel on calculera les coordonnées (cartésiennes ou polaires) de l'image.
Par exemple dans le 2), l'argument de f(z) était -t; pour le cercle intérieur du 3) l'argument reste nul, puisque l'image est réelle. Pour le cercle extérieur, il est difficile à calculer, et il vaut mieux exprimer les coordonnées cartésiennes (voir mon message du 10 plus haut) x=5cost/4 y=3sint/4 soit en éliminant t : (x/(5/4))^2+(y/(3/4))^2=1
Compris?

je ne comprends pas comment passer de 1/2(2exp(it)+exp(-it)/2) aux x= et y=.
S'il faut, c'est tout bête, mais alors là, je ne vois pas

x est la partie réelle et y la partie imaginaire de
Z=1/2(2exp(it)+exp(-it)/2)=1/2(2(cost+isint)+(cost-isint)/2

donc en conclusion, l'image par g de la couronne est l'intérieur de l'ellipse moins le segment [-1,1].

et pour le précédent, c'est l'interieur de l'hyperbole.