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Géometrie plane
Bjr tt le monde.J'ai un exercice de géométrie à rendre, j'ai réussi à faire les 3 premières questions du problème mais je n'arrive pas à trouver la réponse de la dernière question.
Dans un plan affine euclidien,soit 
un cercle de centre O et de rayon r.
1.Soit D une droite qui passe par O.On note B et C ses points d'intersection avec . On note pT(M) le produit scalaire MB.MC. Exprimer p(M) en fonction de OM et r.
2.Soit M un point extérieur au cercle et 
une droite passant par M et tangente à au point T.Montrer que pT(M)=MT2
3.Soit une droite qui passe par M et qui coupe le cercle en 2 points distincts B et B'.Montrer que p(M)=MB.MB'.
4.Soit ' un cercle de centre O' et de rayon r'. Déterminer l'ensemble des point m du plan pour lesquels p(M)=p'(M).
Merci d'avance pour cette aide.Aurevoir!
1) MB.MC=(MO+OB)(MO+OC)=OM²+MO.(OB+OC)+OB.OC=OM²-r²
2) MB.MC=(MT+TB).(MT+TC)=MT²+MT.(TB+TC)+TB.TC
Or TB+TC=2TO+OB+OC=2TO et MT.(TB+TC)=2MT.TO=0 et TB.TC=TO²+OB.OC=r²-r²=0
donc MB.MC=MT²
3)Soit B" le milieu de BB'
MB.MB'=(MB"+B"B)(MB"+B"B')=MB"²+MB".(B"B+B"B')+B"B.B"B'=MB"²-BB"²=MO²-OB"²-BB"²=OM²-OB²=OM²-r²
4)Si pT(M)=pT'(M), OM²-r²=O'M²-r'² donc OM²-O'M²=r²-r'²
Soit H un point de la droite OO', et notons OH=x et OO'=d, OH²-O'H²=x²-(x²-2dx+d²)=d(2x-d) qui est une fonction affine de x prenant toutes valeurs entre -inf et +inf: il existe un point H et un seul tel que OH²-O'H²=r²-r'². On a alors
OM²-O'M²=(OH+HM)²-(O'H+HM)²=OH²-O'H²+2(OH-O'H).HM
On aura OM²-O'M²=OH²-O'H² si (OH-O'H).HM=0 donc si HM est perpendiculaire à OH-O'H, donc à OO': M est donc sur la perpendiculaire à OO' passant par H, et le lieu de M est donc cette droite
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