Bonjour,

Pour plus de commodité, je note les affixes en minuscules .

1) On se ramène sans perte de généralité à 3 points sur le cercle unité en sorte que

soit le projeté orthogonal de sur

  tu peux montrer que

  puis que

et des formules analogues pour et

Écrire ensuite que sont alignés revient à écrire que le rapport :

   est réel (soit égal à son conjugué).
Après quelques calculs tu obtiendras soit
Reste à vérifier que d'affixe appartient à cette droite.
N'oublie pas que   étant de module 1, leurs conjugués sont leurs inverses.

bonjour

sinon il y a une démonstration géométrique avec les angles de droites (modulo pi) traduisant la cocyclicité...

via les angles à côtés perpendiculaire et le fait qu'une réflexion change l'angle orienté en son opposé...

et qui peut utiliser aussi le fait que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont sur le cercle circonscrit.

Bonjour à tous,

Oui, matheuxmatou mais qui sait encore manipuler à bon escient les angles orientés de droites ? (sans compter que la démonstration à laquelle tu fais allusion n'est pas "évidente").

  >> Klivi,

Comme je "sens" ton énoncé à la lueur des conseils de ton professeur :

  - On peut traiter la question 1) avec les complexes.

  - Mais il faut absolument les abandonner en  2) et se tourner vers la "vraie" géométrie.

   On commence par faire un dessin ....

lake hé oui

dire que je l'ai enseigné en TC et cet exercice était un classique...

cela dit ça tient en 4 ou 5 lignes quand on prend les bons angles...

Bonjour,
J'ai jeté un œil sans chercher à traiter la question 1).
En admettant le résultat de la question 1), la question 2) se traite en une ligne, ou je me trompe ?

Sylvieg

oui... c'est quasiment du "en déduire"

Bonjour Sylvieg,

Oui, oui : une homothétie de rapport et incidemment le cercle d'Euler apparait avec son centre milieu de et ses 9 points

Merci pour vos réponses rassurantes

puisque l'intéressé ne participe pas, je livre ma solution géométrique... les angles que je manipule sont des angles de droites...

A" , B" , C" les symétriques de H par rapport aux côtés (BC) , (AC) et (AB) du triangle

par réflexion d'axe (BC)  :
(A"B,A"C) = -(HB,HC) []

angles à côtés perpendiculaires :
(HB,HC) = (AC,AB) []

d'où (A"B,A"C) =  (AB,AC) []
ce qui prouve que A" est sur le cercle circonscrit à (ABC) ... et de même pour B" et C" ( résultat classique qu'on peut utiliser directement si il est connu)

revenons à M un point du plan et A',B',C' ses symétriques de H par rapport aux côtés (BC) , (AC) et (AB) du triangle

par réflexion d'axe (BC)  :
(HA',HC) = -(A"M,A"C) []

par réflexion d'axe (AC)  :
(HB',HC) = -(B"M,B"C) []

relation de Chasles :
(HA',HB') = (B"M,B"C) - (A"M,A"C) []

et donc

H,A',B' alignés   (B"M,B"C) =(A"M,A"C) [] B" , A" , M , C cocycliques M sur le cercle circonscrit à (ABC)

sauf erreur

Oui et c'est joli ! Je savais que cette démonstration existait mais je ne l'avais jamais lue.
Pour la petite histoire, le symétrique de par rapport à a pour affixe qui, comme de juste, est de module .

Un peu de poésie dans un monde de brutes...Merci!

Le bon (le poète), nous l'avons : matheuxmatou.
La brute : j'imagine que c'est moi.
Il nous manque encore un truand.

A trois, on peut faire un truangle...

c'est trop d'honneur lake... quoique le "bon" est très subjectif dans le film

Bonjour,

Bien que Klivi n'ait pas beaucoup réagi, j'ai quelques regrets sur la partie "brutale" ou calculatoire.

  

Citation :
puis que

Citation :
Celle avec les complexes ne semble pas l'être beaucoup plus