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Géométrie - plans parallèles

Posté par
Rouliane
16-09-04 à 09:38

Bonjour ,

J'ai un petit problème de géométrie, et je ne vois pas par où commencer..le voici :

Montrer que les plans P et Q d'équation x + (sqrt(3)).y - 2.z = 0  et 2.x - z = 0 ne sont pas parallèles

(sqrt désigne la racine carré)

Merci à vous de votre aide

Posté par
siOk
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 10:19

Bonjour,

P: ax + by + c = 0     et     P': a'x + b'y + c' = 0

P et P' sont parallèles si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a'; b' ; c') sont proportionnels.

Posté par
muriel Correcteur
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 10:20

bonjour,
tu peux regarder des vecteurs normaux à chacun 2 et montrer qu'il ne sont pas colinéaires.
coordonnées d'un vecteur normal à (P): (1,\sqrt{3},-2)
coordonnées d'un vecteur normal à (Q): (2,0,-1)

tu remarque facilement qu'ils ne sont pas colinéaire, donc les plans ne peuvent pas être parallèles.

sauf erreur de ma part.

Posté par
muriel Correcteur
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 10:22

excuse moi siOk, nos messages se sont croisés.

Posté par
Rouliane
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 10:38

Merci beaucoup pour vos réponses ....

Je me demande quelque chose maintenant : pour montrer que ces plans sont orthogonaux, il faut montrer que 2 de ses vecteurs sont orthogonaux, c'est bien ça ?
donc que le produit scalaires des 2 triplets est nul ?

Merci à vous

Posté par
muriel Correcteur
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 14:43

re,
tu as écrit:
"il faut montrer que 2 de ses vecteurs sont orthogonaux"
les vecteurs a qui?
pour montrer que 2 plans sont orthogonaux, tu peux montrer que un vecteur normal à un des plans est colinéaire aux vecteurs directeurs au 2ème plans.
ou
tu peux montrer qu'un vecteur normal à un des plans est orthogonal aux vecteurs normaux du 2ème plan.
(je pense que tu pensais à ceci qu'en tu as écrit )
voilà, sauf erreur de ma part

Posté par
Rouliane
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 15:45

Merci Muriel !
C'est effectivement ce que je voulias dire !
Par contre, je ne discerne pas trop la notion de vecteur normal et directeur ...



Posté par
muriel Correcteur
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 17:25

un vecteur directeur d'une droite permet de donner une base à la droite, c'est à dire si on prend un point A de cette droite et un vecteur \vec{u} on a:
pour tout point M de la droite, la relation:
\vec{AM}=\alpha \vec{u}
avec \alpha un réel
ceci dans le plan ou l'espace.
lorsque tu es dans l'espace tu peux définir un plan à l'aide d'un point A et de 2 vecteurs directeurs \vec{u} et \vec{v}, ces 2 vecteurs forment une base de ce plan:
pour tout point M de ce plan:
\vec{AM}= \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}
\alpha et \beta, des réels.

as-tu compris les vecteurs directeurs?
un vecteur est dit normal à un plan (ou une droite), s'il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plans (ou de la droite)
as-tu compris, maintenant?

Posté par
Rouliane
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 17:41

Merci encore Muriel pour ton explication, c'est vraiment sympa
J'ai bien compris maintenant !
Enfin je crois !
Par exemple, pour trouver un vecteur directeur du plan d'équation 2x-z = 0, il faut que je trouve un triplet (x,y,z) qui vérifie 2x-z = 0, c'est bien ça ?

Par contre (désolé de poser encore une question ) comment trouves-tu, dans ton premier message, qu'un vecteur normal au plan Q est (2,0,-1) ??

Merci encore

Posté par
muriel Correcteur
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 19:17

re,
pour ton triplet, c'est bien ça.
(j'ai juste oublié de te dire que les vecteurs u et v doivent être indépendant, c'est à dire que l'un ne peux pas s'écrire en fonction de l'autre. Par exemple pour ton plan:
u(0,1,0) et v(1,0,2) sont indépendant et forment une base du plan).

pour ta question, je prends les coefficients de ton plan. Pourquoi?
soit n(x',y',z') un vecteur normal à ce plan.
alors on a n.u=0
où les coordonnées de u(x,y,z) vérifie 2x-z=0
n.u=xx'+yy'+zz'=0
si x'=2, y'=0 et z'=-1, on a bien l'égalité.
as-tu compris?

Posté par
Rouliane
re : Géométrie - plans parallèles 16-09-04 à 19:36

Merci beaucoup Muriel !
J'ai enfin tout compris !
Mais c'est si bien expliqué que je ne pouvais pas ne pas comprendre

Merci encore



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