A titre de 'sport'.
Bien que la figure de Geo3 comporte pas mal de lignes inutiles pour la résolution du problème, je propose qu'on la garde comme référence pour se rendre compte du fameux cercle de neuf point d'Euler, du moins dans un triangle àux trois angles aigus.
On a déjà la preuve pour les pieds des médianes et des hauteurs.
Clef pour a, milieu de AH :
Dans le triangle ABH, C'a joint les milieux de deux côtés, donc C'a est parallèle à BH (ou BE). Or BE est perpendiculaire à AC (hauteur) donc à C'A' (qui est paraéllèle à AC). Les droites BE, AC, C'A' et C'a enferment donc le périmètre d'un rectangle et A'C'a est un angle droit.
Dans le triangle ACH, B'a joint les milieux de deux côtés, donc B'a est parallèle à CH (ou CF). Or CF est perpendiculaire à AB (hauteur) donc à B'A' (qui est parallèle à AB). Les droites CF, AB, B'A' et B'a enferment donc le périmètre d'un rectangle et A'B'a est un angle droit.
Le quadrilatère A'C'aB' ayant deux angles droits opposés est inscriptible dans un cercle. Comme on sait que O est le centre du cercle passant par A', B' et C', a est aussi sur ce cercle.