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Géométrie repérée trésor

Posté par
mim132
07-05-23 à 20:25

Bonjour, je bloque sur un exercice de géométrie repérée, serait-il possible d'avoir de l'aide ?

Voici le sujet;
Amy a trouvé un vieux parchemin qui donne des informations concernant un trésor enfoui.
Donner à Amy les coordonnées du point sous lequel elle doit creuser pour récupérer le trésor.
Justifier par des calculs.

Merci d'avance pour votre aide

Géométrie repérée trésor

Posté par
Leile
re : Géométrie repérée trésor 07-05-23 à 21:13

bonjour,

en quoi es tu bloquée ? qu'as tu essayé de faire ?

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 02:23

Bonjour, merci de m'aider
J'ai déjà déterminer les coordonnées des points du moulin, village, château et rivière ce qui me donne pour le moulin ( -2;0)
pour le château (1;1) pour le village (-1;3) et pour la rivière (2;3).
Comme vous pouvez le voir sur l'image, j'ai déjà tracé le cercle et les coordonnées du centre sont (0;1) et le rayon et de 2,25.
Sauf que cela je l'ai uniquement déterminé graphiquement et non par des calculs. Je ne sais pas non plus si ces données sont nécessaires dans l'exercice.
En tout cas je pense qu'il faut déterminer l'équation cartésienne du cercle, mais là aussi je ne sais pas quel point du cercle prendre puisque pour chaque point pris l'équation est différente comme les coordonnées sont différentes. Et mon autre problème est que je ne vois pas comment trouvé le point sur le cercle en prenant en compte les contraintes étant qu'il faut qu'il soit à 2km du moulin et à 4,5km de la rivière.
Je vous remercie d'avance de votre aide

Posté par
hekla
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 10:53

Bonjour

Les coordonnées du château sont fausses : oubli d'un signe -

Quel est le centre circonscrit à un triangle ?

Pas d'accord pour le rayon du cercle. Gardez les valeurs exactes  

Écrivez l'équation du cercle de centre le moulin et de rayon 2

coordonnées du point d'intersection avec le cercle précédent

Quel est le point satisfaisant la dernière contrainte ?

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 12:27

Bonjour je vous remercie pour votre aide

je m'excuse pour mes erreurs de coordonnées
Je n'avais pas du tout pensé à faire un cercle  de centre moulin et de rayon 2.

Merci beaucoup je vais essayé cela et je vous dit si le point d'intersection satisfait la contrainte de la rivière

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 13:40

Bonjour,
J'ai tracé le cercle de centre moulin et de rayon 2 et le cercle de centre rivière et de rayon 4,5 et j'ai déterminé les équation cartésienne de chacun
Pour le moulin j'ai trouvé comme équation x²+y²+2x+2y=0
et pour la rivière j'ai trouvé comme équation x²+y²-4x-6y+7,25=0
Il me reste à résoudre le système pour trouvé les coordonnées du point d'intersection entre les deux cercles mais voilà je n'arrive pas à résoudre le système.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 14:35

Pour l'équation du cercle de centre, le moulin et de rayon 2 on trouve

 (x+2)^2+y^2=4 soit  x^2+y^2+4x=0 ce qui est bien différent de votre équation.

Pour la rivière, cela nous intéresse pas puisque la distance n'est pas connue, seulement un minimum.

Le système à résoudre est celui formé par l'équation du cercle circonscrit au triangle moulin village château et l'équation précédente.

Ensuite, on vérifiera lequel de ces deux points est à une distance supérieure à 4,5

Rappel
équation du cercle de centre \Omega\ (\alpha~;~\beta)  et de rayon R

(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:08

Bonjour,
Pour ce qui est de l'équation du cercle  circonscrit au triangle moulin, château, village je trouve comme rayon 2,25 cela est visible graphiquement, les coordonnées du centre de ce cercle sont (0;1) et donc j'ai trouvé comme équation de ce cercle x²-2x+y²-2y-4,0625=0
Est-ce que c'est juste et est-ce que je suis sur la bonne voie ?
Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:23

Bonjour,
Dans le message d'avant je me suis trompée,
l'équation est x²+y²-2y-4,0625
et donc le système que j'ai trouvé est x²+y²-2y-4,0625=0
                                                                                   x² +y²+4x=0
Mais voilà mon problème reste le même je ne vois pas comment résoudre ce système
Merci encore pour votre aide

Posté par
hekla
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:27

Centre du cercle circonscrit  \Omega \ (0~;~1)

Rayon du cercle \Omega A=\sqrt{5},  car

(\Omega A)^2=(0-(-2))^2+(1-0)^2=5

Équation du cercle circonscrit  x^2+(y-1)^2=5

Posté par
hekla
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:35

\begin{cases} x^2+y^2-2y-4=0\\x^2+y^2+4x=0\end{cases}

En soustrayant de la seconde, la première, on obtient une relation entre x et y. On écrit alors y en fonction de x.
On reporte cette relation dans l'une des deux équations.
On est amené à résoudre une équation du second degré.  

Posté par
mim132
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:42

D'accord merci beaucoup pour votre aide !
Je vais essayé
Merci encore

Posté par
hekla
re : Géométrie repérée trésor 08-05-23 à 15:48

J'ai appelé A le moulin pour éviter de prendre M qui sert en général pour un point quelconque. Le château sera C, la rivière R et le village V

Géométrie repérée trésor



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