Niveau autre

géométrie simple mais dur

Posté par
hallow1978 21-11-13 à 15:45

Bonjour
Je me prends la tete avec cet exo en apparence simple :

ABC triangle quelconque
J milieu de AB et I milieu de AC

Demontrer que :
(BI) et (CJ) perpendiculaire ssi AB2 + AC2 = 5BC2

Les 2 signifiant "carré"

Merci de votre aide

_{* Tom_Pascal > forum modifié *}

Posté par re : géométrie simple mais dur 21-11-13 à 16:43

Bonjour,

cet exo est passé il n'y a pas très longtemps avec en fait tout un tas de questions intermédiaires avant pour "amener" à ce résultat.
Le cracher direct sans indice n'est effectivement pas facile du tout.

Une idée est d'exprimer le produit scalaire $\vec{BI}.\vec{CJ}$ avec Chasles pour décomposer ça "comme il faut" ...
toute la difficulté est bien entendu de trouver la bonne décomposition.

une autre idée est d'utiliser directement ou presque le théorème de la médiane dans la figure suivante :
géométrie simple mais dur
(tout ça vient de l'homothétie de centre M et de rapport 3)

en exprimant le théorème de la médiane dans ACD et dans BAE
et en écrivant que l'angle BGC = 90° AD² + AE² = DE²
tout s'élimine gentiment et il ne reste plus qu'une relation entre AB, AC et BC : la relation cherchée.

Posté par re : géométrie simple mais dur 21-11-13 à 16:46

bonjour,

En passant par les vecteurs ça se fait assez naturellement :
$\\ \vec{BI}.\vec{CJ}=0 \\ (\vec{BA}+\vec{AI}).(\vec{CA}+\vec{AJ})=0 \\ \vec{BA}.\vec{CA}+\vec{BA}.\vec{AJ}+\vec{AI}.\vec{CA}+\vec{AI}.\vec{AJ}=0 \\ -\vec{BA}.\vec{AC}-\frac{1}{2}AB^2-\frac{1}{2}AC^2-\frac{1}{4}\vec{BA}.\vec{AC}=0 \\ 10\vec{BA}.\vec{AC}+4AB^2+4AC^2=0 \\ 10\vec{BA}.\vec{AC}+5AB^2+5AC^2=AB^2+AC^2 \\ 5(AB^2+2\vec{BA}.\vec{AC}+AC^2)=AB^2+AC^2 \\ 5(\vec{BA}+\vec{AC})^2=AB^2+AC^2 \\ 5BC^2=AB^2+AC^2 \\$

Mais il y a sûrement plus élégant comme démonstration.

Posté par re : géométrie simple mais dur 24-11-13 à 14:04

salut

c'est tout à fait convenable comme démonstration ... l'élégance vient dans l'art de l'utilisation de la relation de Chasles et des propriétés adéquates d'un milieu ... et je n'ai rien à redire ....