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Niveau seconde
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Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi.]

Posté par
infophile
11-05-05 à 17:08

Bonjour

Ce DM est à rendre pour lundi, c'est l'exercice final, j'ai répondu à toutes les questions, je souhaiterais si possible avoir une vérification

\fbox{\textrm ABCD est un quadrilatere convexe inscrit dans un cercle C de centre O.\\Les points I,J,K,L sont milieux respectifs des cotes [AB],[BC],[CD],[DA].\\Les droites (IP),(JQ),(KM) et (LN) sont perpendiculaires respectivement au cotes [DC],[AD],[AB] et [BC]\\ On se propose de demontrer que les droites (IP), (JQ), (KM) et (LN) sont concourantes.}

Question 1: Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. On appelle \Omega son centre et on note S_{\Omega} la symétrie centrale de centre \Omega.

Réponse: On considère tout d'abord le triangle ABC. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]. Le théorème de la droite des milieux révèle que lorsqu'une droite passe par le milieux de deux segments d'un triangle, alors elle est parallèle au 3ème côtés. Ici (IJ) passe par Im[AB]  et Jm[BC] donc: (IJ)//(AC).Par ailleurs le même phénomène se produit pour les triangles ADC et LKD, sans donner trop de détails on aboutit au même résultat: (AC)//(LK). Et ainsi de suite jusqu'à en conclure que IJKL est un parallélogramme.

Question 2: a) Démontrer que les droites (IO) et (KM) sont parallèles.
b) Déterminer l'image de la droite (IO) par S_{\Omega}.


Réponse: a) O est le centre du cercle circonscrit C au quadrilatère ABCD. Im[AB]. (IO)\perp[AB] (médiatrice). Or (MK) est également perpendiculaire à [AB], il en advient que (IO)//(KM). Théorème: Si 2 droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles. Pour ce passage revoir la notion de médiatrice pour le raisonnement, peu sur
b) L'image de la droite (IO) par S_{\Omega} est la droite (KM). Pour le démontrer il faut s'appuyer sur le fait qu'elles sont parallèles et que \Omegam[IK] Peu sur également


Question 3: Déterminer de même l'image de chacune des droites (JO), (KO), et (LO) par S_{\Omega}.

Réponse: Par un raisonnement analogue (c'est à dire ambigue ) on trouve les images des droites suivantes:
(JO) --> (LN)   De plus ces droites sont parallèles entre elles. Je n'arrive pas le démontrer clairement
(KO) --> (PI)
(LO) --> (QJ)


Question 4: En déduire que les droites (IP), (JQ),(KM) et (LN) sont concourantes en un point

Réponse: Etant donné que mon raisonnement est peu clair je ne peux rien affirmer, mise apart récapituler mes bétises

Voila, c'est la fin de l'exercice, j'aimerais bien que l'on me consacre un petit peu de temps, pour m'aider à aboutir à une démonstration claire et précise...

Merci par avance
Kevin

Posté par
infophile
re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 17:47

J'espère que le dessin joint motivera les bénévoles

Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi

Posté par eldamat (invité)re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 18:34

ne vous embêtez pas à répondre, je le fais avec lui sur msn.

Posté par Dasson (invité)re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 18:49

Bonjour,

Ben...c'est bon
Question 1
La première démonstration (théorème de Varignon) est détaillée ici

Question 2a
I est milieu de [AB] (hypothèse) donc I est sur la médiatrice de [AB] (définitions).
A et B sont sur un cercle de centre O (hypothèse) donc O est équidistant de A et B (définitions) et O est sur la médiatrice de [AB] (propriété).
I est sur la médiatrice de [AB] et O est sur la médiatrice de [AB] (démontré) donc la médiatrice de [AB] est (IO).
La médiatrice de [AB] est (IO) (démontré) donc (IO) est perpendiculaire à (AB) (définition).
(IO) est perpendiculaire à (AB) (démontré) et (KM) est perpendiculaire à (AB) (hypothèse) donc (KM)//(IO) (propriété).
Question 2b
L'image par s de (IO) est une droite parallèle à (IO) (propriété).
L'image par s de I est K (le centre de symétrie est le centre du parallélogramme IJKL, milieu de la diagonale [IK]).
L'image par s de (IO) est donc la droite qui est parallèle à (IO) et qui passe par K : c'est (KM).
Question 4
Soit O'l'image par s de O.
O est point de (IO) donc O' est point de s((IO))=(KM)
O est point de (JO) donc O' est point de s((JO))=(LN)
O est point de (KO) donc O' est point de s((KO))=(IP)
O est point de (LO) donc O' est point de s((LO))=(JQ)
Donc...

A vérifier.

Posté par Dasson (invité)re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 18:50

Trop tard

Posté par eldamat (invité)re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 18:53

lol, dsl

Posté par
rene38
re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 18:59

Bonjour
Quelques variantes :
Question 1
I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC] donc \vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}
K est le milieu de [CD] et L est le milieu de [DA] donc \vec{LK}=\frac{1}{2}\vec{AC}
On en conclut que \vec{IJ}=\vec{LK} et donc IJKL est un parallélogramme.

Question 2
O est le centre du cercle et I le milieu de la corde [AB]
La droite qui joint le centre d'un cercle au milieu d'une corde est la médiatrice de cette corde
Donc (IO) est la médiatrice de [AB] et donc (IO)\perp(AB)
Par hypothèse, (KM)\perp(AB)
donc d'après le théorème cité, (IO)//(KM).

est le centre du parallélogramme IJKL donc est le milieu de [IK] (et de [JL]) et donc I et K sont symétriques par rapport à .
Dans la symétrie centrale par rapport à ,
- l'image de I est K
- l'image de (IO) est la droite parallèle à (IO) et qui passe par l'image de I : c'est la droite (KM)

Question 3
On démontrerait de la même façon que :
* (LN)//(JO) puis que (LN) est symétrique de (JO) par rapport à
* (IP)//(KO) puis que (IP) est symétrique de (KO) par rapport à
* (JQ)//(LO) puis que (JQ) est symétrique de (LO) par rapport à

Le point O est sur les droites (IO), (JO), (KO) et (LO)
donc son symétrique O' par rapport à est sur les images de ces droites : O' est sur les droites (KM), (LN), (IP) et (JQ).
En d'autres termes, les droites (KM), (LN), (IP) et (JQ) sont concourantes en O', symétrique de O par rapport à .




Posté par
infophile
re : Géométrie: symétrie centrale (quadrilatère convexe) [Verifi 11-05-05 à 19:20

 5$ \textrm  MERCI BEAUCOUP !!!



Il est vrai qu'avec eldamat on avait commencé à reprendre tous les points un par un, et il ne nous restais plus que la conclusion
Je la remercie beaucoup, tout autant que votre aide m'est précieuse !

Cet exercice était le dernier de mon DM, il ne me restera plus qu'à rédiger le tout

Merci encore à tous

Kevin



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