Bonjour
Ce DM est à rendre pour lundi, c'est l'exercice final, j'ai répondu à toutes les questions, je souhaiterais si possible avoir une vérification
Question 1: Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. On appelle son centre et on note la symétrie centrale de centre .
Réponse: On considère tout d'abord le triangle ABC. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]. Le théorème de la droite des milieux révèle que lorsqu'une droite passe par le milieux de deux segments d'un triangle, alors elle est parallèle au 3ème côtés. Ici (IJ) passe par Im[AB] et Jm[BC] donc: (IJ)//(AC).Par ailleurs le même phénomène se produit pour les triangles ADC et LKD, sans donner trop de détails on aboutit au même résultat: (AC)//(LK). Et ainsi de suite jusqu'à en conclure que IJKL est un parallélogramme.
Question 2: a) Démontrer que les droites (IO) et (KM) sont parallèles.
b) Déterminer l'image de la droite (IO) par .
Réponse: a) O est le centre du cercle circonscrit C au quadrilatère ABCD. Im[AB]. (médiatrice). Or (MK) est également perpendiculaire à [AB], il en advient que (IO)//(KM). Théorème: Si 2 droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles. Pour ce passage revoir la notion de médiatrice pour le raisonnement, peu sur
b) L'image de la droite (IO) par est la droite (KM). Pour le démontrer il faut s'appuyer sur le fait qu'elles sont parallèles et que m[IK] Peu sur également
Question 3: Déterminer de même l'image de chacune des droites (JO), (KO), et (LO) par .
Réponse: Par un raisonnement analogue (c'est à dire ambigue ) on trouve les images des droites suivantes:
(JO) --> (LN) De plus ces droites sont parallèles entre elles. Je n'arrive pas le démontrer clairement
(KO) --> (PI)
(LO) --> (QJ)
Question 4: En déduire que les droites (IP), (JQ),(KM) et (LN) sont concourantes en un point
Réponse: Etant donné que mon raisonnement est peu clair je ne peux rien affirmer, mise apart récapituler mes bétises
Voila, c'est la fin de l'exercice, j'aimerais bien que l'on me consacre un petit peu de temps, pour m'aider à aboutir à une démonstration claire et précise...
Merci par avance
Kevin
ne vous embêtez pas à répondre, je le fais avec lui sur msn.
Bonjour,
Ben...c'est bon
Question 1
La première démonstration (théorème de Varignon) est détaillée ici
Question 2a
I est milieu de [AB] (hypothèse) donc I est sur la médiatrice de [AB] (définitions).
A et B sont sur un cercle de centre O (hypothèse) donc O est équidistant de A et B (définitions) et O est sur la médiatrice de [AB] (propriété).
I est sur la médiatrice de [AB] et O est sur la médiatrice de [AB] (démontré) donc la médiatrice de [AB] est (IO).
La médiatrice de [AB] est (IO) (démontré) donc (IO) est perpendiculaire à (AB) (définition).
(IO) est perpendiculaire à (AB) (démontré) et (KM) est perpendiculaire à (AB) (hypothèse) donc (KM)//(IO) (propriété).
Question 2b
L'image par s de (IO) est une droite parallèle à (IO) (propriété).
L'image par s de I est K (le centre de symétrie est le centre du parallélogramme IJKL, milieu de la diagonale [IK]).
L'image par s de (IO) est donc la droite qui est parallèle à (IO) et qui passe par K : c'est (KM).
Question 4
Soit O'l'image par s de O.
O est point de (IO) donc O' est point de s((IO))=(KM)
O est point de (JO) donc O' est point de s((JO))=(LN)
O est point de (KO) donc O' est point de s((KO))=(IP)
O est point de (LO) donc O' est point de s((LO))=(JQ)
Donc...
A vérifier.
Bonjour
Quelques variantes :
Question 1
I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC] donc
K est le milieu de [CD] et L est le milieu de [DA] donc
On en conclut que et donc IJKL est un parallélogramme.
Question 2
O est le centre du cercle et I le milieu de la corde [AB]
La droite qui joint le centre d'un cercle au milieu d'une corde est la médiatrice de cette corde
Donc (IO) est la médiatrice de [AB] et donc (IO)(AB)
Par hypothèse, (KM)(AB)
donc d'après le théorème cité, (IO)//(KM).
est le centre du parallélogramme IJKL donc est le milieu de [IK] (et de [JL]) et donc I et K sont symétriques par rapport à .
Dans la symétrie centrale par rapport à ,
- l'image de I est K
- l'image de (IO) est la droite parallèle à (IO) et qui passe par l'image de I : c'est la droite (KM)
Question 3
On démontrerait de la même façon que :
* (LN)//(JO) puis que (LN) est symétrique de (JO) par rapport à
* (IP)//(KO) puis que (IP) est symétrique de (KO) par rapport à
* (JQ)//(LO) puis que (JQ) est symétrique de (LO) par rapport à
Le point O est sur les droites (IO), (JO), (KO) et (LO)
donc son symétrique O' par rapport à est sur les images de ces droites : O' est sur les droites (KM), (LN), (IP) et (JQ).
En d'autres termes, les droites (KM), (LN), (IP) et (JQ) sont concourantes en O', symétrique de O par rapport à .
Il est vrai qu'avec eldamat on avait commencé à reprendre tous les points un par un, et il ne nous restais plus que la conclusion
Je la remercie beaucoup, tout autant que votre aide m'est précieuse !
Cet exercice était le dernier de mon DM, il ne me restera plus qu'à rédiger le tout
Merci encore à tous
Kevin
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