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{ Géométrie} Théorème de Fubini

Posté par
guerenYu
11-12-21 à 19:57

Bonsoir, Je suis étudiant en L2 physique et je suis complètement bloqué à une question d'un exercice sur le théorème de Fubini. Je me demande si des matheux serait capable de m'aider. Voici l'exo:
L'espace est muni de coordonnées cartésiennes (x,y,z) et d'une base orthonormée

(O,ex,ey,ez) . On définit les quatre points

A=(5,2,4) , B=(6,2,4),

C=(5,6,4) et D=(5,2,5) qui définissent les sommets d'un tétraèdre T.
1. L'équation d'un plan passant par B,C,D  contient le point D donc est de la forme
a*(x-5)+b*(y-2)+c*(z-5)=0.       On choisit arbitrairement c=4. Déterminer les valeurs de a et b.
Pour cette question j'ai facilement trouvé a = 4 et b = 1
C'est la deuxième question qui pose problème :


On veut calculer l'intégrale triple I=(y-2)dxdydz sur le tétraèdre T. Le théorème de Fubini nous permet de l'écrire sous la forme

I = entre t et u [ entre v et  (z)  ( entre w  et  (y,z) dx)  (y-2) dy ] dz







   2. Déterminer les valeurs des nombres entiers t, u, v et  w et des fonctions (affines) (z) et  (y,z).  Pour ces dernières on les écrira sous la forme
(z-5)+ et (y-2)+(z-5)+ ?  qui facilitent les calculs par la suite. Les lettres grecques désignent des entiers ou des fractions qu'on simplifiera au maximum. On utilisera une équation de la droite DC dans le plan défini par x=5. Comme toujours il est conseillé de faire un dessin en perspective. Pour l'écriture des fonctions   et on n'oubliera les symboles * pour la multiplication et les parenthèses autour des fractions.

Même en faisant un dessin je n'y comprends rien du tout, si quelqu'un peut me dire les étapes à suivre ça me sauverait, cordialement

Posté par
loeiz35
re : { Géométrie} Théorème de Fubini 12-12-21 à 09:25

Bonjour
Quelques conseils pour commencer :
- Fais une figure où  tu pourras voir les 3 faces (ABD), (ACD) et (ABC).
Qu'as tu remarqué ?
- Ensuite tu trouveras facilement les fonctions en question.
-En fixant y et z d'abord,  quelles sont les bornes de x pour un un point M qui se déplace dans T.

Posté par
DOMOREA
Géométrie} Théorème de Fubini 12-12-21 à 17:17

Bonjour,
N'oublie pas que l'équation du plan (BCD) te permet d'exprimer x en fonction de y et de z, ce qui te donne la borne supérieure de l'intégrale en dx
Ensuite je te propose de poser w=y-2 donc dw=dy et y=w+2 cela peut simplifier le calcul (il faudra aussi changer les bornes de l'intégrale en dy pour avoir l'intégrale en dw.
comme l'écrit loeiz35 un regard sur les triangles nommés te montre des rapports intéressants   (Théorème de Thales par exemple)                        



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