Bonsoir !
Je suis en pleine révision pour le CRPE, et j'ai eu un concours blanc que je tente de refaire. J'aurais besoin de savoir si je ne fais pas fausse route ! J'ai beaucoup de peine à organiser mes démonstrations, je ne sais pas trop comment procédés en maths !

Voilà le début d'énoncé :

"Soit ABC un triangle isocèle et rectangle en A tel que AB = 4 cm. On considère le point D tel que C est le milieu du segment [AD].
1) construire la figure, qui sera complétée au fur et à mesure des questions
2) Soit I le milieu du segment [BD] = quelle est la nature du quadrilatère ABIC ?  Le démontrer et calculer IC
3) Prouver que les point A,B et D appartiennent à un même cercle C dont on précisera le centre et la valeur exacte de son rayon"

Et mes réponses :

1) Utiliser la propriété des milieux : Dans un triangle, la droite passant par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté, donc AB est parallèle à CI
Un trapèze est un quadrilatère dont au moins deux côtés sont parallèles, or nous avons démontrer que AB est parallèle à CI, donc le quadrilatère ABCI est un trapèze (rectangle ? car il a un angle droit)

Pour le calcule de CI = utilisation du théorème de Thalès, comme on sait que CI est parallèle à AB
Dans un triangle ADB, C appartient à [AD] et I appartient  à [BD] et (CI) // (AB) alors DC / DA = DI/DB = CI/AB
On connait les longueur de AB = 4, AC = 4 car ABC est un triangle isocèle qui a deux côtés de même mesure. AD = 2AC = 8
donc on peut faire un produit en croix : DC/DA = CI/AB = CI = 2 cm
ou bien on peut donner la propriété "La longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté." ???? Donc AB/2 = 4/2 = 2

2 ) Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.
Or ABC est rectangle en A et A,C, D sont alignés, donc le triangle ADB est rectangle en A ?
L'hypoténuse du triangle rectangle ABD est [DB], donc [DB] est le diamètre du cercle circonscrit
I est le milieu de [ BD], donc IB = DI, donc I est le centre du cercle circonscrit, et A,B, D font partie du cercle C
Pour trouver la valeur de IB ou ID il faut effectuer le théorème de pythagore pour trouver l'hypoténuse et le diviser par deux, ou reprendre le théorème de Thalès


Je vous remercie d'avance pour vos réponses