Bonjours
Pouvez vous m'aider à résoudre les questions
3.a, 3.b et 3.c. Merci d'avance.

Soit ABC un triangle rectangle en A, dont l'hypoténuse mesure 4 cm.
On désigne par O le milieu du segment [BC]et par ( oméga ) le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit I le milieu du segment [OA]. A tout point M du plan, on associe les points P et Q définis par :
MP = 2 MA + MB + MC et MQ = 2 MA - MB - MC
Ces deux expressions représente sont en réalités des vecteurs.
Questions
1. Montrer que I est le barycentre des points A, B, C, affectés respectivement des coefficients 2, 1, 1.
2. Exprimer vecteur IP en fonction de vecteur IM, puis vecteur MQ en fonction de vecteur IA.
En déduire que les points P et Q sont les images respectives de M par une homothétie et une translation dont on précisera les éléments.
3. Dans cette question, M décrit le cercle ( oméga )
a. Déterminer et construire les ensembles ( r1 ) et ( r2 ) que décrivent respectivement les points P et Q.
b. Montrer que le segment [PQ] conserve une longueur constante.
c. Montrer que le segment [PQ] contient toujours le point O' symétrique de O par rapport à A

Réponses :
1. Autrement dit, montrer que, vectoriellement :
2.IA +IB + IC = 0 (1)
O est milieu de BC (propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle) et :
OB + OC = 0 (2)
I est milieu de OA :
IO + IA = 0 (3)
Démontrer (1) revient donc à montrer que :
2.OI + IB + IC = 0
ou
OB + OC = 0 (Chasles)
ce qui est vrai car (2).
2. 2) MA=MI+IA
MB=MI+IB
MC= MI+IC

MP= 2MI +2IA+MI+IB+MI+IC (définition de MP)
avec ce qui précéde, il reste :
MP=4 MI = MI+IP

3MI=IP
IP=-3IM (P image de M par H(I, -3) )