Ton problème est rédiger de tel sorte à utiliser le théorème de Pythagore
de plus on le voit en quatrième, j'ai les réponses de ton problème
grace à pythagore donc je voulais bien te les envoyer mais tu  as
dis que tu ne voulais pas de Pyhagore

On peut utiliser le théorème de pythagore et aussi les proprietes
de droites parallèles et perpendiculaires, les milieux respectifs
et il y a des triangles isocèles et équilateraux également, tous
tous ces éléments de trouver les longueurs que tu as calculer.


Pyhagore aurait été plus simple

Bonne chance

vous savez c'est pas grave, je vais mettre pythagore et c'est
tout
est-ce que vous pouvez ME LA CITER

Le voila sans Pythagore.

AB perpendiculaire à AN ->  AB perpendiculaire à FN
FI perpendiculaire à FN par hypothèse.

Les droites FI et BA sont // comme étant perpendiculaires à une même
troisième FN
->

Les triangles FNI et ANB sont semblables (de même forme dit-on aujourd'hui)
comme ayant leurs cotés directement // 2 à 2.
->
IN/BN = FN/AN = FI/AB

Avec B au milieu de IN -> IN/BN = 2

2 = FN/AN = FI/3,9   (1)
FI = 3,9*2 = 7,8

2 = FN/AN
avec FN = FA + AN = 8 + AN
->
2 = (8+AN)/AN
2AN = 8 + AN
AN = 8

Et donc AN = FA

FA = AN et AB commun et angle(BAF) = angle(BAN) = 90°
Et donc les triangles FAB et ANB sont isométriques comme ayant un angle
et les 2 cotés adjacents égaux.
-> FB = BN
et comme BN = IN/2 = 17,8 /2 = 8,9
FB = 8,9
----
Regroupement des résultats trouvés jusqu'à présent:
AN = 8 cm
FB = 8,9 cm
FI = 7,8 cm
-----------
Soit X le point milieu de [BN] (donc XB=XN)
En recommençant le même raisonnement que lorsqu'on a montré que
FB = BN, on trouvera ici que:
XA = XN

On a donc XB = XN = XA.
Le point X est donc équidistant des points B, A et N.
X est donc le centre du cercle circonscrit au triangle BAN.

Le point O, centre du cercle circonscrit au triangle BAN doit donc être
à la même place que le point X.

O est au milieu de [BN]
On a donc ON = BN/2 = (IN/4) = 17,8 / 4 = 4,45 cm.
-----------
Sauf distraction, vérifie.

merci J-P
j'ai enfin réussi