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géométrie vectorielle
Bonsoir j'ai des problèmes avec cet exercie de géométrie. Je compte donc sur votre aide pour pouvoir le résoudre et je vous en remercie d'avance.
On donne ds l'espace E quatre pts ABCD nn coplanaires
On rapporte E au repère (A ;\vec {AB} ; \vec {AC} ; \vec {AD} ) . Soit M un pt du segment [AC] de coordonnées (0;\lambda,0).
Soit M le plan passant par M et parallèle à (AB) et (AC).
1. Donner une équation cartésienne de P. (je crois qu'il faut d'abord passer par une équation paramétrique de P mais j'ai du mal à trouver 2 vecteurs sachant qu'il partent de M)
2.donner une équation paramétrique des droites (BC), (BD), (AD).
je trouve pr (BC) {x=1-k, y=k, z=0} avec k\in\mathbb{R} ; pr (BD) {x=1-k, y=0, z=k} et pr (AD) {x=0, y=0, z=k)
3. démontrer que P coupe les segments [BC], [BD], [AD] en 3 pts appelés respectivement N,P,Q.
Calculer en fonction de \lambda les coordonnées des points N, P et Q. Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ?
4. On suppose que AB=2a et CD=a (a\in\mathbb{R}_+^{\large*})
Déterminer \lambda pr que MNPQ soit un losange.
je suis désolé. voici uen copie plus claire de l'énoncé:
On donne ds l'espace E quatre pts ABCD nn coplanaires
On rapporte E au repère (A ;vec {AB} ; vec {AC} ; vec {AD} ) . Soit M un pt du segment [AC] de coordonnées (0;lambda,0).
Soit M le plan passant par M et parallèle à (AB) et (AC).
1. Donner une équation cartésienne de P. (je crois qu'il faut d'abord passer par une équation paramétrique de P mais j'ai du mal à trouver 2 vecteurs sachant qu'il partent de M)
2.donner une équation paramétrique des droites (BC), (BD), (AD).
je trouve pr (BC) {x=1-k, y=k, z=0} avec k appartenant à IR; pr (BD) {x=1-k, y=0, z=k} et pr (AD) {x=0, y=0, z=k)
3. démontrer que P coupe les segments [BC], [BD], [AD] en 3 pts appelés respectivement N,P,Q.
Calculer en fonction de lambda les coordonnées des points N, P et Q. Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ?
4. On suppose que AB=2a et CD=a (a appartient à IR+*)
Déterminer \lambda pr que MNPQ soit un losange.
Erreur d'énoncé ??
Tu écris:
Soit M le plan passant par M et parallèle à (AB) et (AC).
Je renifle une erreur à cet endroit.
Si c'etait correct, comme le point M est aussi sur AC, le plan cherché serait le plan "horizontal", d'équation z = 0
C'est déjà cela, mais il reste une autre erreur.
Avec:
Soit P le plan passant par M et parallèle à (AB) et (AC).
La remarque faite avant est toujours valable.
Avec ce qui est écrit, l'équation de P est : z = 0
Je parierais qu'il y a une erreur dans (AB) et/ou (AC)
Vérifie.
oui lol c'est P le plan passant par M et parallèle à (AB) et (CD)
Comme on dit chez moi:
"C'est au 3ème coup qu'on voit les maîtres".
1°)
P: y + z - Lambda = 0
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2°)
OK
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3°)
Point commun à P et à [BC]
Par le système:
y + z - Lambda = 0
x=1-k
y=k
z=0
N(1-Lambda ; Lambda ; 0)
---
Point commun à P et à [BD]
Par le système:
y + z - Lambda = 0
x=1-k
y=0
z=k
P(1-Lambda ; 0 ; Lambda )
---
Point commun à P et à [AD]
Par le système:
y + z - Lambda = 0
x=0
y=0
z=k
Q(0 ; 0 ; Lambda)
---
A partir des coordonnées de M,N,P et Q -->
vecteur(MN) = (1-Lambda ; 0 ; 0)
vecteur(QP) = (1-Lambda ; 0 ; 0)
On a vecteur(MN) = vecteur(QP)
Le quadrilatère MNPQ a ses cotés opposés égaux et parallèles --> c'est un parallélogramme.
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4.
vecteur(QM) = (0 ; Lambda ; -Lambda)
vecteur(MN) = (1-Lambda ; 0 ; 0)
vecteur(AB) = (2a ; 0 ; 0)
vecteur(DC) = (0 ; a/V2 ; -a/V2) Avec V pour racine carrée.
On a bien alors |DC| = V(a²/2 + a²/2) = a
et |AB| = 2a
Les vecteurs (QM) et (DC) sont colinéaires.
Les vecteurs (MN) et (AB) sont colinéaires.
|MN| = (1-Lambda).2a
|QM| = V(2.Lambda²) . a = 2a.Lambda
Pour que MNPQ soit un losange, il faut que |MN|=|PQ| -->
(1-Lambda).2a = 2a.Lambda
(1-Lambda) = Lambda
2 Lambda = 1
Lambda = 1/2
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Sauf distraction.
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