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géométrie vectorielle
bonjour à tous
Je suis à la dernière question d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre et j'aimerai bien que l'on m'aide svp.
le voici :
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (0.i;j;k) i,j et k en vecteurs.
On note d la droite passant par les points A(1;-2;-1) et B(3;-5;-2).
1.Démontrez qu'une représentation paramétrique de d est:
x=1+2t
y=-2-3t t appartient a R.
z=-1-t
2.d' est la droite de représentation paramétrique:
x=2-t'
y=1+2t' t' appartient a R
z=t'
Démontrez que d et d' ne sont pas coplanaires.
3.On considère le plan P passant par le point C(0;-3;0) et dirigé par les vecteurs u(1;-4;0) et v(0;-5;1).
a/Démontrez que le plan P contient la droite d.
b/Démontrez que le plan P et la droite d' se coupent en un point D dont on déterminera les coordonnées.
C'est la question 3 a et b qui me pose problème
merci d'avance
bonjour
3a)
soit ax+by+cz+d=0 le plan (P)
C appartient à (P) donc -3b+d=0 donc d=3b
le necteur n(a;b;c) est normal à (P) donc
n.u=0 et n.v=0
donc
a-4b=0 donc a=4b
-5b+c=0 donc c=5b
le plan (P) a donc pour équation
4bx+by+5bz+3b=0
ce qui est équivalent en simplifiant par b à:
4x+y+5z+3=0 : (P)
c'est l'équation cartésiènne de (P)
soit M un point de (d) donc il extse t dans IR tel que x=1+2t et y=-2-3t et z=-1-t
on a:
4(1+2t)+(-2-3t)+5(-1-t)+3=4+8t-2-3t-5-5t+3=(8t-3t-5t)+(4-2-5+3)=(8t-8t)+(7-7)=0
donc
M appartient à (P)
donc
(d) incluse dans (P)
b) M(x;y;z) appartient à (P) et à d'
ssi il existe t dans IR tel que: x=2-t et y=1+2t et z=t et 4x+y+5z+3=0
ssi il existe t dans IR tel que: x=2-t et y=1+2t et z=t et 4(2-t)+(1+2t)+5(t)+3=0
ssi il existe t dans IR tel que: x=2-t et y=1+2t et z=t et 8-4t+1+2t+5t+3=0
ssi il existe t dans IR tel que: x=2-t et y=1+2t et z=t et 3t+12=0
ssi il existe t dans IR et t=-4 tel que: x=2-(-4)=6 et y=1+2(-4)=-7 et z=-4
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voila
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