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Géométrie vectorielle
On place 3 points A, B, D non alignés.
On place E sur (AB) et F sur (AD).
M est le point d'intersection de (BD) et (EF).
Soit I milieu de [AM], J milieu de [ED], K milieu de [BF]
Il faut prouver Je IJK sont alignés.
Alors je suis parti du fait qu'il faut prouver que IJ = k IK ou k un réel.
Puis AI = 1/2 AM, BK = 1/2BF et. EJ= 1/2 ED.
J'ai essayé mais je n'ai pas réussi.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît.
Excusez-moi, c'est ma première fois sur ce site.
J'ai passé beaucoup de temps sur cet exercice et je suis complètement bloqué.
Auriez-vous une idée ?
On lui pardonne pour cette fois. Ca arrive à tout le monde d'oublier?
Mais perso j'ai cherché et je n'ai pas trouvé.
Je suis bien curieux de voir comment faire, si quelqu'un sait ça m'intéresse aussi 
Par rapport à ton idée pars du vecteur IJ et decompose le en utilisant la relation de CHASLES ,sachant que tu dois aboutir à un vecteur colineaire à IK.
Tu peux aussi exprimer IJ et IK en fonction des memes vecteurs
Une méthode consisterait à prendre le repère (A; AB; AD) et à calculer les coordonnées de tous les points utiles, à commencer par le point M.
Bonne nuit,
Le titre étant "Géométrie vectorielle", il existe une démonstration utilisant l'homothétie.
si on peut utiliser l'homothétie, on considère le quadrilatère EBDF dont les diagonales portent J et K en leur milieu.
on complète ce quadrilatère par A et M avec I milieu du segment [AM]
I,J et K sont alors sur la droite de Newton du quadrilatère complet.
il existe bon nombre de démonstrations de l'alignement des points I, J ,K dont une, utilisant les homothéties, est relativement simple.
Bravo vham
Mais la notion de relativement simple est toute... relative 
Mais il y a peut-être moins compliqué que 
étude d'une configuration
Je confirme qu'on y arrive avec les coordonnées.
Par ailleurs, il manque un petit quelque chose dans l'énoncé :
M est le point d'intersection de (BD) et (EF).
Bonjour,
@ Sylvieg : Ces points milieux ont réveillé chez moi un des exercices de géométrie que j'ai pratiqué entre 1950-55 et que j'ai peut-être revu dans les années plus récentes (pour exercer ma mémoire)
Il s'agit bien de la droite de Newton
Je ne connaissais pas l'étude de 2011 que vous donnez en lien, mais c'est bien la démarche que je connaissais, elle doit se transposer "sans trop de peine" en dėmonstration vectorielle.
Si les droites (BD) et (EF) sont parallèles la démonstration est d'autant plus simple en considérant le point M à l'infini. Mais a-t-on encore le droit de considérer un point à l'infini avec les programmes scolaires d'aujourd'hui ?
@vham,
Non, je ne pense pas pour le point M à l'infini.
Pour l'étude de 2011 je l'ai trouvée avec une recherche sur le web utilisant le "droite de Newton" de ton message
Il y a d'autres anciens messages dans l'île sur l'exercice de Vrobin, mais avec l'indication d'un repère précis.
Je n'ai pas trouvé l'exercice de Vrobin traité avec des vecteurs, sans repère et sans la droite de Newton.
Une idée comme ça pour une solution plus simple :
Il manque un point C . Pourquoi ne pas l'introduire comme 4ème sommet du parallélogramme DABC ?
Aucune idée de si ça marche...
Mais je vais approfondir quand j'aurai le temps si personne ne le trouve avant.
Voici une figure avec le parallélogramme :
Les points I, J, K y sont les milieux respectifs de [AM], [AE'], [AF'].
Il suffit donc de démontrer que les points M, F',E' sont alignés.
Ce doit être un classique, mais je bloque 
Si, en vecteurs, on a défini : AE=rAB et AF=sAD
dans le repère (A,AB,AD)les coordonnées de M, intersection de (EF) et (BD) sont : (r(1-s)/(r-s) ; s(r-1)/(r-s))
Si alors on prend pour repère (C,CB,CD), on change r en 1-r et s en 1-s pour calculer l(intersection de (BD) et (E'F')
Et les coordonnées de M restent inchangées....
Erreur de ma part en ce qui concerne les symétries que j'avais imaginées en étant en déplacement en voiture...
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