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Gibbs

Posté par matmat81 (invité) 31-03-05 à 20:51

Salut a tous!
Quelqu'un aurait il une démonstration de la formule de Gibbs appelée également formule du double produit vectoriel à m'exposer
Merci d'avance

Posté par
dadoure : Gibbs 01-04-05 à 10:11

Bonjour,
le mieux c'est encore de faire une démonstration directe:

(u \wedge v). w = \(\array{u_2v_3-u_3v_2\\ v_1u_3-v_3u_1\\u_1v_2-u_2v_1 \) \wedge \(\array{w_1\\w_2\\w_3}\)=
\(\array{w_3v_1u_3-w_3v_3u_1-w_2u_1v_2+w_2u_2v_1\\ w_1u_1v_2-w_1u_2v_1-w_3u_2v_3+u_3v_2w_3\\ w_2u_2v_3-w_2u_3v_2-w_1v_1u_3+w_1v_3u_1}\)=\(\array{v_1(w_3u_3+w_2u_2)-u_1(w_3v_3+w_2v_2)\\v_2(w_1u_1+u_3w_3)-u_2(w_1v_1+w_3v_3)\\v_3(w_2u_2+w_1u_1)-u_3(w_2v_2+w_1v_1)}\)
Ensuite on ajoute et on retranche
u_1v_1w_1 à la première composante,
u_2v_2w_2 à la seconde,
u_3v_3w_3 à la troisième.

On obtient alors:
(u\wedge v)\wedge w=(w.u)v-(w.v)u

Dadou


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