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Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes

Posté par
marcsa 12-11-21 à 17:05

Bonjour,

j'aimerais démontre que si E est un K-ev de dimension n, alors le groupe linéaire GL(E) est isomorphe au groupe des matrices inversibles GL_n(K).

Je sais que, si je fixe une base $(e_1,..., e_n$) de E alors $\phi : K^n \to E, (x_1, ...,x_n) \mapsto \sum_{i=1}^{n}x_ie_i$ est un isomorphisme (linéaire, et bijective car $(e_1, ..., e_n)$ base de E).
Mais je ne vois pas comment passer à GL(E) et GL_n(K)


Merci

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 17:12

Bonjour,

Étant donné une application inversible de GL(E) , en composant cette appli avec phi, tu obtiens une appli inversible de GL_n(K).

Il te faut donc montrer que cette application de GL(E) dans GL_n(K) est un isomorphisme. Simple en l'inversant, grâce à l'inverse de phi...

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 17:21

Bonjour,

Déjà je ne comprends pas la première étape , pourquoi la nouvelle application est inversible dans GL_n(K) ?

J'ai cherché cette démonstration dans de nombreux livres et je ne la trouve nulle part :/, je suis sûr que ce n'est pas compliqué mais j'aimerais la voir une fois proprement

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 17:31

Citation :
Déjà je ne comprends pas la première étape , pourquoi la nouvelle application est inversible dans GL_n(K)
Pas "dans", mais "de"

Cette application est bien une appli qui te prend un vecteur de K^n.

Petite erreur dans mes précisions dsl: il faut composer à droite avec phi et à gauche avec l'inverse de phi

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 17:59

Donc j'ai \phi : K^n \to E isomorphisme.
Soit u \in GL(E) ie $u:E \to E linéaire et bijectif
Donc j'ai $u \circ \phi : K^n \to E est un isomorphisme.

et ensuite je suis perdu

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:02

salut

n'a-t-on pas :

E est un K-espace vectoriel de dimension n <=> E est isomorphe à K^n

et un isomorphisme quelconque est donné par une base (e_i) quelconque de E qu'on envoie bijectivement sur la base "canonique de K^n ...

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:08

marcsa @ 12-11-2021 à 17:59

Donc j'ai \phi : K^n \to E isomorphisme.
Soit u \in GL(E) ie $u:E \to E linéaire et bijectif
Donc j'ai $u \circ \phi : K^n \to E est un isomorphisme.
  Tu as plutôt \phi^{-1} u \circ \phi : K^n \to K^n est un élément de GL_n(K).

Ton but est donc ici de montrer que l'application \psi : GL(E) \to GL_n(K) telle que \psi (u) = \phi^{-1} u \circ \phi est un isomorphisme d'Ev.

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:16

Citation :
Ton but est donc ici de montrer que l'application \psi : GL(E) \to GL_n(K) telle que \psi (u) = \phi^{-1} u \circ \phi est un isomorphisme de groupes

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:18

carpediem @ 12-11-2021 à 18:02

salut

n'a-t-on pas :

E est un K-espace vectoriel de dimension n <=> E est isomorphe à K^n

et un isomorphisme quelconque est donné par une base (e_i) quelconque de E qu'on envoie bijectivement sur la base "canonique de K^n ...
C'est en gros ce qu'il dit au début.....mais ici on veut un isomorphisme entre les groupes linéaires et non entre les Ev E et K^n....

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:29

Foxdevil @ 12-11-2021 à 18:16

Citation :
Ton but est donc ici de montrer que l'application \psi : GL(E) \to GL_n(K) telle que \psi (u) = \phi^{-1} u \circ \phi est un isomorphisme de groupes


par composée d'isomorphisme c'est juste ça l'argument ?

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:33

oui mais à partir de cette isomorphisme alors toute iso de E se traduit immédiatement par une unique matrice et réciproquement ...

en fait oui je dis bien la même chose mais sans le formaliser avec "des formules"
ce que je veux dire c'est que c'est la définition même de la traduction/représentation d'une application linéaire par une matrice

une base B de E quelconque étant fixée l'application : L(E) --> M_n(K) : u --> matrice de u dans B est une bijection et sa restriction à GL(E) dans GL_n(K) l'est aussi

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:41

Non. Tu mélanges les isomorphismes...

\phi est un iso entre K^n et E...
u est un iso de E...
dc \psi(u) est un iso de K^n....c'est là que l'argument de la "composée" te permettrait de conclure le caractère isomorphe de
\psi(u).

Mais ce n'est pas ce qu'on te demande!

Tu dois prouver que l'application \psi est un morphisme et est bijectif en tant que morphisme de groupes...

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:41

marcsa @ 12-11-2021 à 18:29

par composée d'isomorphisme c'est juste ça l'argument ?
Je précise que je réponds à ça...

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:44

Effectivement je mélange tout , j'ai du mal à y voir clair avec la correspondance application linéaire /matrice

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:52

Citation :
oui mais à partir de cette isomorphisme alors toute iso de E se traduit immédiatement par une unique matrice et réciproquement ...
Ok , j'avais pas compris où tu voulais en venir...

Posté par
Foxdevilre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 18:58

Citation :
une base B de E quelconque étant fixée l'application : L(E) --> M_n(K) : u --> matrice de u dans B est une bijection et sa restriction à GL(E) dans GL_n(K) l'est aussi
Ok. Juste qu'on doit montrer en plus que c'est un isomorphisme, et pas juste une bijection....donc il faudrait aussi justifier le caractère "morphisme"...

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 19:58

oui bien sûr : ne pas oublier le caractère "morphisme" de cette bijection  

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:01

pour justifier le caractère morphisme, est-e qu'il suffit de dire que Mat(u o v)=Mat(u)Mat(v)?

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:08

oui la composée (des endo) se traduit pr la multiplication des matrices ...

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:11

le dire oui ... mais peut-être argumenter aussi un peu tout de même ...

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:11

merci, et y'a t-il une démonstration du fait que la restriction de L(E) dans M_n(K) à Gl(E) dans Gl_n(K)  est aussi une bijection ? ou alors c'est évident ?

Posté par
marcsare : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:15

des pistes pour l'argumentation ?

Posté par
carpediemre : Gl(E) est GL_n(K) sont isomorphes 12-11-21 à 20:19

si f : A --> B est bijective elle le reste évidemment pour toute partie E (de A) dans f(E) ...


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