Combien dure une goutte en moyenne.

Si sur un ruban, on a une led allumée, et qu'une nouvelle led s'allume (par le nombre aléatoire entre 0 et 255), je considère que pour nous , c'est une nouvelle goutte qui apparaît, sur le même ruban.
Du coup, on a des gouttes qui durent 16 huitièmes de seconde, pour les plus longues, quand c'est la led tout en haut qui déclenche le processus.... jusqu'à 1 huitième de seconde quand c'est la led tout en bas qui déclenche le processus.
16 valeurs possibles, équiprobables. Moyenne = 17/16 seconde

Question 2 : en moyenne, quelle proportion du temps chaque led est allumée ?
Je vais onventer un mot qui va bien m'aider, le mot sec8.
C'est une unité de temps, un sec8, c'est un huitième de seconde.
Tous les sec8, on a une led qui s'allume.
et le process qui se déclenche ainsi dure en moyenne 8.5 sec8

On a donc en moyenne 8.5 led allumées.
A priori, ce n'est pas dit clairement, on a en tout 256 led.
Chaque led est donc allumée pendant 3.32% du temps.

3) En moyenne, quelle proportion du temps un ruban est allumé (au moins une led)?
Galère, pas le courage pour l'instant.

4) En moyenne, combien de leds sont allumées sur un ruban à chaque instant?
16*3.32=0.53   En moyenne, il y a 0.53 led allumée par ruban,

@ty59847
1) Je suis d'accord avec toi

2) Je ne suis pas d'accord. On a que 16 leds (sur un ruban), pas 256.
Comme on peut tirer un nombre plus grand que le nombre de led, on a tous les sec8 1/16 chance qu'une nouvelle goutte démarre. Moins le fait que la led était peut être déjà allumée.
Je voulais surtout voir que la led 0 était moins souvent allumée que la led 15.

3) Ça se complique

4) Pas sûr que ce soit si simple puisque les leds ne sont pas indépendantes.

Pour la question  2, on a 16 leds par rubans.
On a combien de rubans ? ... L'information n'est pas donnée, elle n'est pas indispensable. Comme on tire un nombre entre 0 et 255, et que ça correspond à des n°s de leds, j'ai considéré qu'on avait 16 rubans de 16 leds. Avec des numéros tous différents.
Donc à chaque action, il y a une des 256 leds qui s'allume.

Et je divise par 16 à la fin, parce que j'obtiens un résultat valable sur le cumul des 16 rubans.
Il y a les cas où la led sélectionnée est déjà allumée, ou encore les cas où une autre led du même ruban est déjà allumée...
En fait, il y a juste le cas où la led sélectionnée est déjà allumée qui n'est pas traité ici.

Question 4 : La moyenne, c'est le total divisé par le nombre de rubans. Si on s'intéressait à la variance, ce serait une toute autre histoire.

L'erreur, c'est que si  la led tirée au sort est déjà allumée, je considère qu'on allume quand même une led, une autre. Il doit y avoir une suite géométrique à prendre en compte, pour corriger ça, mais c'est compliqué.

Juste pour vos yeux, j'ai fait un petit programme (ça m'a pris 4h quand même ) qui simule tout ça



Le code :
Ça à l'air compliqué comme ça mais le seul truc compliqué c'est de faire en sorte que ce soit joli

Ça ne s'anime pas dans SageMath ni Jupyter malheureusement Mais il suffit d'installer Python sur sa machine

@ty59847
Bon OK 4) est beaucoup plus simple que ce que je pensais:
Soit n le nombre de led allumées en moyenne à chaque instant.
Une goutte dure en moyenne 8.5 instants et on a à chaque instant (16-x)/256 chance de démarrer une nouvelle goutte.
Donc x=(16-x)/256*8.5. On résoud, x = 272/529 0.514.

Pour 2) On a une simple récurence:
Soit x(n) la probabilité que la led n soit allumée à chaque instant.
x(0) = 1/256
x(n+1) = (1-x(n+1))/256 + x(n)
On en déduit x(n) = 1 - 255/257 * (256/257)^(n-1)

Il reste 3)

>Littlefox

Je n'ai pas le talent de participer,mais ton animation est remarquable
Pour les prochaines fêtes tu pourras mettre des flocons

3) A chaque instant t, le ruban est allumé si on a tiré 0 à t-15, 0 ou 1 à t-14, ... entre 0 et 15 à t.
Là j'aurais tendance à simplement à sommer ces probabilités mais c'est une erreur puisqu'on aurait une probabilité plus grande que 1 pour un ruban de longueur 256. Mais je n'arrive pas à expliquer où est l'erreur

En utilisant la probabilité inverse, on a que la probabilité qu'un ruban de longueur n soit allumé à un insant t est de

Un ruban de longueur 16 est donc allumé en moyenne 41.90% du temps.

Si tu fais la somme que tu envisageais, tu vas compter 2 fois plein de scénarios.
Si la led n°0 est tirée à t-1 et à nouveau à t-2 ... tu vas compter ça comme 2 succès, alors que c'est un seul succès.

C'est juste. Je voyais les tirage à des t différents comme indépendents mais en fait non.