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Bonjour
Mais si, mais si ... faut il qu'il y ait quelque chose d'écrit !

😉

Ah oui pardon hihi Je l'envoie en entier mais s'il faut car c'est long je peux le raccourci et en faire un plan !!
Le voici  
Introduction :

Comment les équations différentielles permettent-elles de modéliser des phénomènes concrets ?

Cette question se pose dès que l'on cherche à décrire un phénomène qui évolue dans le temps ou en fonction d'une autre variable. Dans de nombreux cas, la vitesse de variation d'une grandeur ne dépend pas seulement du temps, mais aussi de la valeur de cette grandeur elle-même. C'est là qu'interviennent les équations différentielles.

Elles permettent de modéliser des situations où l'évolution d'un système dépend de sa dynamique interne : croissance d'une population, refroidissement d'un objet, propagation d'un virus ou encore diffusion d'un produit sur un marché.
L'objectif de cet exposé est de montrer comment ces équations, qui relient une fonction à ses dérivées, permettent de représenter, analyser et prédire des phénomènes concrets. Nous verrons d'abord comment elles se définissent, puis comment on peut les résoudre, et enfin comment elles s'appliquent à des exemples issus du quotidien ou de l'économie.

Partie cours :

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue de y de la variable x, sa dérivée y′, et éventuellement d'autres fonctions comme des constantes ou une fonction f(x)
On appelle solution d'une équation différentielle toute fonction dérivable vérifiant l'égalité. Alors, pour résoudre une équation différentielle, il faut trouver l'ensemble de ses fonctions vérifiant l'égalité.  

Par exemple, si on considère une fonction f définie sur un intervalle, une primitive de f est une fonction F telle que F′=f(x).
Toutes les fonctions continues admettent des primitives, ce qui est essentiel pour résoudre certaines équations différentielles simples comme y′=ay+f(x). On peut aussi avoir des équations du type y'=ay et aussi y'=ay+b

Ces solutions représentent l'évolution du phénomène étudié dans le temps.

Maintenant que nous avons vu ce qu'est une équation différentielle, voyons comment elle s'applique à des cas concrets, accessibles et parfois étonnants. y′=ay où a est une constante réelle. Ce type d'équation modélise des situations où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnelle à la quantité elle-même.

Par exemple :
• La taille d'une population avec un taux de croissance constant.
• L'évolution d'un capital placé à intérêts composés.
On sait que les solutions de cette équation sont
y(x)=Ce^ax avec C une constante fixée par la condition initiale.

Nous allons maintenant voir d'autres exemples concrets où les équations différentielles permettent de modéliser des phénomènes variés et intéressants.

Un phénomène concret et plutôt simple pour aborder au fur et à mesure le sujet serait d'imaginer une tarte ou un plat quelquonque qui vient de sortir du four. Sa température T est de 200° en fonction de t en heure. Elle suit une équation différentielle y'+1,4y=30.

Comme dit précédemment il faut avant tout trouver sous la forme y'=ay+b avec les solutions dans R Ce^at-b/a
On trouve que y'=-1.4y+30 donc la solution générale dans R est de la forme

T(t)=Ce^-1.4t + 30/1.4 (21.5)
Le résultat dans exercice concret est inutilisable car il n'est pas réaliste de dire qu'une tarte est à 21°C juste après deux heures de cuisson.

On détermine la constante C grâce à la condition initiale, soit T(0) = 200° car la tarte vient juste de sortir du four
Il faut donc faire une équation de la forme
Ce^0 +21.5 = 200, en isolant C on trouve que C=178.5 C'est l'expression de la température de la tarte en heure avec les solutions de C et une solution particulière !

Maintenant, il est possible de trouver la température de la tarte en fonction du temps qu'on veut. Ces problématiques montrent la diversité des phénomènes que l'on peut modéliser à l'aide des équations différentielles

Une fois que l'on a compris comment une équation différentielle permet de modéliser un phénomène aussi simple que le refroidissement d'une tarte, on peut s'intéresser à des situations plus complexes où la croissance n'est ni infinie ni constante dans le temps. C'est notamment le cas lorsqu'on cherche à modéliser une dynamique d'offre et de demande, ou de croissance limitée, comme la diffusion d'un produit, l'évolution d'une population ou encore la propagation d'une idée.

C'est dans ce type de contexte que l'équation logistique devient un outil très pertinent.

Contrairement à un modèle exponentiel (comme celui vu précédemment, y′=ay, qui suppose une croissance sans fin, l'équation logistique intègre l'idée que la croissance ralentit à mesure qu'on s'approche d'une limite, que ce soit une capacité maximale de population, un nombre de clients potentiels, ou des ressources limitées. L'équation logistique s'écrit de la manière suivante :



Ici, y(t) représente la quantité étudiée au cours du temps (par exemple, le nombre de personnes ayant acheté un produit), a est le taux de croissance, et K est la valeur maximale atteignable — aussi appelée capaciter limite. Lorsque y est très petit par rapport à K, on retrouve une croissance presque exponentielle.
Mais lorsque y se rapproche de K, la croissance ralentit puis finit par s'annuler.
Prenons un exemple concret : une entreprise lance un nouveau produit sur le marché. Elle estime que 10 000 personnes au maximum seront intéressées par ce produit. Le jour du lancement (au temps t=0t = 0t=0), 500 clients l'ont déjà acheté. L'entreprise suppose que le rythme des ventes suit une dynamique logistique avec un taux de croissance a=0,3
On modélise alors le nombre de clients au fil du temps avec l'équation :


La solution générale de cette équation est connue :


Avec   K=10 000 aK=3

( ici je sais pas si c'est aK=3 ou 0.3)

Pour trouver la constante C, on utilise la condition initiale y(0)=500




On obtient donc la solution particulière :

y(t)=\frac{10000}{1+19e^{-3t}}  

Ce modèle permet de connaître, à chaque instant, le nombre de clients ayant acheté le produit


Cela signifie que le produit atteint quasiment l'ensemble du marché prévu en 5 mois. La courbe décrivant cette évolution est dite en S : d'abord une croissance rapide (presque exponentielle), puis un ralentissement progressif, jusqu'à ce que la courbe se stabilise autour de la limite K.
Ce type de modèle logistique est particulièrement utile en économie, en biologie (croissance de populations, épidémies), en marketing (cycle de vie d'un produit), ou en sociologie (propagation d'une idée). Il montre à quel point les équations différentielles permettent de représenter et d'analyser des phénomènes concrets du monde réel, avec des solutions qui ont un sens pratique et interprétable.

(Ici je montre la courbe expotentielle et la courbe de l'equation logistique )


Les équations différentielles jouent un rôle central dans la modélisation de nombreux phénomènes dynamiques. Derrière chaque processus qui évolue dans le temps — qu'il s'agisse de la croissance d'une population, du refroidissement d'un objet, de l'évolution d'un capital ou de la diffusion d'un produit — se cache souvent une équation qui en raconte l'histoire.
Ces équations permettent de traduire mathématiquement la réalité, non pas pour la figer, mais pour mieux la comprendre, la prévoir, et parfois même l'anticiper. Grâce à elles, les mathématiques quittent le cadre abstrait du tableau pour s'ancrer dans le réel, devenant un outil concret, utile, et profondément humain.
Étudier les équations différentielles, c'est apprendre à lire les mouvements du monde. C'est donner un langage aux courbes de la vie, et voir dans une formule l'expression d'un phénomène vivant.
C'est ce qui rend leur étude à la fois rigoureuse, fascinante… et essentielle.

Bonjour, je n'ai pas le niveau en maths le plus élevé du forum, beaucoup d'autres ici seront plus à même d'émettre un avis sur ta rigueur mathématique mais je me permets de relever quelques points d'amélioration et fautes,  à prendre avec du recul, n'hésite pas à vérifier auprès d'autres personnes. Cet avis n'engage que moi.

Perso je trouve que c'est très sympa comme grand oral, sache que les jurys évaluent surtout ta capacité à parler à l'oral et à interagir pendant les questions. Cependant ton exposé manque parfois de clarté comme ici :

Greyy Merci beaucoup pour le temps que tu m'as accordés !! J'ai mis en pratique tout t'es conseils. Il est vrai que le lien entre équations différentielles, dérivées et surtout primitives est trop peu expliquer.
Malheureusement, je ne me suis pas prise assez à l'avance pour y remédier

J'essayerai tout de même de placer un ou deux mots à ce sujet la ou en tout cas, être prête aux questions qu'on me poserai surement à ce sujet la !

Bonne soirée à toi

Content d'avoir pu t'aider! Je ne sais pas si tu souhaites continuer les maths dans le supérieur, mais si c'est le cas n'hésite pas à faire de rapides recherches supplémentaires après le go sur ces sujets, ça t'aidera sûrement pour la suite. Belle soirée

PS : j'ai remarqué une dernière petite faute :

Oopsi, petit erreur d'inattention

Juste, si ca ne te dérange pas, moi même je ne connais pas très bien les équations différentielles et j'ai choisi ce sujet pour me surpasser et améliorer mes faiblesses mais Ducoup quand tu dis :
le lien entre le modèle exponentiel y'=ay et tes exemples

Pourrais tu développer la question car je ne comprend pas et ne sais pas quoi changer dans le  texte. Quelles recherches faire à propos..

Tant mieux si le sujet permet de t'améliorer en équation diff.
Ce que je voulais dire c'est que le jury "naïf" ne verra pas forcément le lien entre la croissance de la population et y'=ay. c'est tout bête mais tu peux préciser qu'à chaque instant t on associe la vitesse de croissance de la population y'(t), qui est proportionnelle à la taille de la population en ce même instant, d'où y'(t) = a*y(t), où a est le pourcentage constant de croissance de la population par an.

Greyy Ok, merci pour la precision..
Malheuresement ma prof ma demander de tout refaire.. Donc je n'ai meme plus ce calcule..

Mais mrc qd meme pour ton aide !

c'est surprenant...
avec plaisir et bon courage pour la suite