En quoi les équations différentielles permettent-elles de modéliser l'évolution temporelle d'un système ?
Voici donc mon introduction et le debut de mon développement:
L'équation différentielle est un objet sur lequel l'apprenant est amené à travailler au niveau de la recherche de solutions. La résolution des équations différentielles peut être abordée à l'aide de trois approches : l'approche algébrique, l'approche numérique et l'approche qualitative.
Résumons, sans entrer dans les détails, le fonctionnement de chacune de ces approches.
Les méthodes algébriques de résolution d'équations différentielles sont les plus connues et les plus répandues depuis leur apparition dans le monde des mathématiques. Ces méthodes donnent des solutions exactes sous la forme des formules explicites, d'expressions finies, de développements en séries ou d'expressions intégrales. Cependant ces méthodes ne sont pas suffisantes pour résoudre tous les types d'équations différentielles ; il existe, en effet, plusieurs types d'équations différentielles et chacun d'eux implique une méthode de résolution particulière.
Cette insuffisance nécessite l'intervention de nouvelles méthodes : les méthodes numériques et graphiques. Les méthodes numériques permettent presque toujours d'approximer la solution d'une équation donnée vérifiant une condition initiale donnée. Il existe plusieurs de ces méthodes, dont les plus connues sont la méthode d'Euler et la méthode de Runge-Kutta .
Pour résoudre une équation différentielle d'ordre peu élevé, on peut utiliser aussi une construction graphique. La méthode graphique de base est celle des isoclines. Elle s'applique directement aux « équations du premier ordre que l'on peut écrire sous la forme : y'(x) = f(x, y) (E). Une fonction y est la solution de (E) si en tout point (x, y(x)), la tangente à la courbe représentative a pour pente f(x, y(x)). On peut alors calculer, pour tout point du plan, la valeur numÈrique de f(x, y(x)) ce qui permet la construction de la courbe. Cette méthode donne rapidement un aperçu du comportement des solutions, et plus précisément de leurs comportements à long terme.
4.2. Modèle "équation différentielle"
Dans le domaine de la physique, notre objet d'étude (les équations différentielles) est considéré en tant que modèle utilisable pour décrire les phénomènes étudiés, expliquer leurs relations et prévoir leur évolution.
Qu'est ce que vous en pensez ?
(Par la suite je parlerais de plusieurs systèmes qu'on a vu cette année en physique-chimie)
Merci d'avance.