salut

je ne vois guère la différence entre les deux questions puisque la deuxième peut se réécrire comme la question 1 en remplaçant fini par limité ??

Bonjour,
c'est sur que le "indéfiniment" ne va pas durer très longtemps !

le produit des chiffres de n est n avec égalité seulement si n < 10, qui donne les points fixes 0 à 9

pour les nombres jusqu à 10⁷ :
longueur max = 7 : [997762, 47628, 2688, 768, 336, 54, 20, 0]

il y a des valeurs plus petites avec 7 étapes, la plus petite est :
longueur max = 7 [68889, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0]

toutes les valeurs finales < 10 sont atteignable ne serait ce que à partir de
1000...
1111...
2111..
3111..
..
9111..

quant aux valeurs intermédiaires ... ?
tout nombre composé dont les facteurs premiers sont 2,3,5,7 peut être obtenu
et ceux qui ont des facteurs premiers > 10 ne le peuvent pas.

malheur au 5 au milieu et au 1
Je cherche un 8 étape...

En effet la suite est décroissante et prend donc un nombre fini de valeurs . La deuxième question est un peu plus subtile : pour un entier donné , la suite peut-elle prendre plus de 7 valeurs différentes ?
Imod

j'en suis à 9 :
[26888999, 4478976, 338688, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0]
mais là un programme force brute s'essouffle...

la deuxième valeur d'une suite est forcement de la forme
2^ax3^bx7^c, suivant d'un nombre formé uniquement de chiffres 2, 3, 4, 6, 7, 8 ou 9
ou 3^ax5^bx7^b suivant d'un nombre formé uniquement de chiffres 3, 5, 7 ou 9
(un chiffre pair avec un 5 est proscrit : ça donne 0 tout de suite)
pour remonter d'un cran, il faut donc que ce nombre initial formé de ces chiffres soit lui même de la forme précitée.

mais pas dit que se restreindre ainsi par des permutations de chiffres soit vraiment plus efficace que la force brute.

On peut faire quelques remarques :
*soit c le nombre de chiffres d'un nombre et e le nombre d'étapes
*Pour 77 on a: c=2 et  e=5    (49 ,36 , 18 ;  8  , 0)
et e/c =2.5   (je pense qu'on ne trouvera pas mieux).
*pour les anagrammes on retiendra le plus petit
*exemple pour c=3
679 -->c=3 et e= 6  (378 , 168 , 48 , 32, 6 , 0)  et e/c =2
On peut chercher le champion de chaque tranche  (piste de mathafou )
*je présume qu'on tend vers 1

Autre remarque:
Quand on trouve un champion on constate que la fin des étapes
emprunte un chemin commun
exemple sur mon bidule:
C'est une piste ...

J'en suis à c=15 et e=11 soit e/c=11/15 ce qui ne confirme pas mon
idée de tendance...
On voit aussi que la piste colorée est utilisée.

pour les nombres à 3 chiffres on peut iister in extenso les records
ils ne se terminent pas tout à 0

[679, 378, 168, 48, 32, 6] et anagrammes
[688, 384, 96, 54, 20, 0] et anagrammes

par contre à partir de 4 chiffres, oui
(et ce sont tous des anagrammes de 6788)

Le fait qu'on soit en base 10 a son importance , en base 2 par exemple  le problème n'a aucun intérêt  . Dans 10 on a deux facteurs premiers ce qui ne simplifie pas la tache . Je me demande si le problème est plus simple en base 3 ?
Imod

En base 3 , dès le premier produit on récupère 0 ou une puissance de 2 . Il faut bien sûr traduire le résultat en écriture avec 3 chiffres pour continuer . Même si elle s'éloigne un peu de nos habitudes , je trouve cette question plus intéressante que la question initiale .
Imod
PS : ce développement me fait malheureusement penser à la suite de Syracuse