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graphe et correspondance

Posté par Profil amethyste 09-05-19 à 23:34

Bonjour et merci d'avance

Je "refais" de l'algèbre mais en reprennant tout ça à partir de la logique du premier ordre

Et là je suis très embêté si vous pourriez m'aider car c'est très important

Je sais que des fois je vous embête un peu mais je ne pose pas souvent des questions

j'embête quand je "pense" aider les autres mais je suis trop nul donc j'abandonne

je vous promet de ne plus "aider" entre guillemets car je n'en suis pas capable (c'est un fait avéré et prouvé)

Alors merci d'avance pour celui qui me laisse une chance et viens m'aider

Dans l'ouvrage de J.Lelong-Ferrand & J.M.Arnaudiès
cours de mathématiques 1 Algèbre 3^e édition
Classes préparatoires 1er cycle universitaire , Dunod Université
ISBN 2-04-007074-5  

à la page 12 je cite

On appelle graphe de \ E\ vers \ F\   toute partie de \ E\times F\  
On appelle correspondance de \ E\ vers \ F\  
la donnée des trois termes \ \left(\Gamma ,E,F\right)   \  
\ \Gamma \   est le graphe
\ E\   l'ensemble de départ
\ F\   l'ensemble d'arrivée

ok pour moi!

puis page 13 je cite

On appelle application de \ E\   vers \ F\   toute correspondance  de \ E\   vers \ F\  
dont le graphe est fonctionnel et dont  \ E\   est le domaine de définition

ok pour moi!

puis fin de page 13

les applications de  \ E\   vers \ F\   constituent un ensemble qui s'identifie
à une partie de \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\    

ok pour moi mais ...

c'est ok si j'identifie le graphe à l'application sinon ça ne va pas

du coup en posant \ f   \   l'application

\  \Gamma   \   son graphe

je poserais \  f\ = \ \Gamma   \  

là en faisant ça \ f   \   est une partie de \ E\times F   \  

donc \ f   \   est un élément de \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\  

du coup l'ensemble de toutes les applications de \ E\   vers \ F\   est une partie de \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\  

\ \mathcal {F}\left(E,F\right)\ l'ensemble de toutes les applications de \ E\   vers \ F\  

et donc \ \mathcal {F}\left(E,F\right)\ \subset \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\  

et là tout va bien

mais je trouve que cette façon de considérer que le graphe est la correspondance est un peu tordu

ne serait il pas plus normal de poser

Soient \ E\   l'ensemble de départ d'une correspondance \  R  \  

\ F\   l'ensemble d'arrivée d'une correspondance \  R  \    

\ \Gamma \   le graphe d'une correspondance \  R  \    

\  R\ =\ \{\Gamma,E\times F\}\   est la  correspondance  \  R  \    

si  \  R\   est une application \  f\    

\  f\ =\ \{\Gamma,E\times F\}\   est cette application

mais du coup l'ensemble de toutes les applications n'est plus une partie de \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\  

mais plutôt une partie de \ \mathcal {P}\left(\mathcal {P}\left(E\times F\right)\right)\  

et l'application \  f  \     sera une partie de \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\    


alors vous feriez quoi à ma place?

poser \  f\ = \ \Gamma   \   pour avoir \ \mathcal {F}\left(E,F\right)\ \subset \ \mathcal {P}\left(E\times F\right)\  

ou bien poser \  f\ =\ \{\Gamma,E\times F\}\   pour avoir \ \mathcal {F}\left(E,F\right)\ \subset \ \mathcal {P}\left(\mathcal {P}\left(E\times F\right)\right)\  

Posté par
Poncarguesre : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:12

Ca change fondamentalement rien.

Posté par Profil amethystere : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:17

Bonjour Poncargues

Poncargues @ 10-05-2019 à 09:12

Ca change fondamentalement rien.


pour faire des maths à la limite tu as raison

mais je ne fais pas de maths là moi (j'ai dit que je fais de la logique en ce moment)

du coup entre

f=\Gamma

et

f=\{\Gamma ,E\times F\}

bah mon arborescence qui représente mon \ f\ est complètement différente entre l'un et l'autre

Posté par
Poncarguesre : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:23

Et y a un truc que tu arrives a faire dans un cas et pas dans l'autre?

Posté par Profil amethystere : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:26

Poncargues @ 10-05-2019 à 09:23

Et y a un truc que tu arrives a faire dans un cas et pas dans l'autre?


non mais là encore je ne veux rien faire (et surtout rien de ma propre initiative)

je demande l'avis des autres (j'ai le niveau troisième du collège pas celui d'un bac et encore moins celui d'un prof )

Posté par
Poncarguesre : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:30

Bah mon avis est qu'il n'y a fondamentalement aucune différence.
Et pour donner un argument mathématique tu as une équivalence de catégorie évidente entre tes deux definitions (entre la catégorie dont les objets sont les ensembles et les fleches sont les correspondances selon ta 1ere definition et la catégorie dont les objets sont les memes et dont les flèches sont données par la seconde).

Posté par Profil amethystere : graphe et correspondance 10-05-19 à 09:34

Grand Grand Merci Poncargues

Ton avis sera donc aussi le miens

et aussi merci pour ta rapidité


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