Niveau exercices

grille

Posté par
flight 06-08-22 à 15:12

bonjour

je vous propose l'exercice suivant  :

On se donne une grille de taille  n x p ,  et deux petites grilles de tailles identiques :2x2  qu'on appelle A et B . ( n 2 et p2)
on place de facon aleatoire la grille A dans la grille n x p  et on fait de meme pour la grille B .  Quelle est la probabilité que les deux petites grilles ne se chevauchent pas ?

Posté par re : grille 06-08-22 à 15:14

precision , la taille d'un carreau est la meme pour la grande grille et pour les deux petites grilles

Posté par re : grille 06-08-22 à 15:56

Bonjour flight,

en passant par l'événement contraire j'ai obtenu la probabilité :

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Posté par re : grille 07-08-22 à 21:07

Pas d autres intervenants... Donc bravo à Jandri

Posté par re : grille 08-08-22 à 13:24

de retour sur ce petit probleme pour lequel j'avais oublié de mettre ma solution :

pour les cas de chevauchements sur une grille nxp    :
pour les  4 "coins 2x2" de la grande grille : 4*4 = 16 cas de chevauchements.
pour les petites grilles bordant les cotés de la grande grille  ( sans les petites grilles  situés aux angles ) il y a  6*(n-3)*2 + 6*(p-3)*2 cas .pour la grille interieure à la grande grille : dimension "n-1 x p - 1 "
on peut relever  9(n-3).(p-3)   chevauchements.

soit en tout   16 + 12(n+p) - 27(n+p) + 9np  = 25 - 15(n+p) + 9np  cas de chevauchements  , et pour obtenir les non chevauchements demandés  il suffit de soustaire ce resultat à (-n1)²(p-1)²     ce qui donne le meme nombre de cas favorables que celui obtenu par jandri

Posté par re : grille 10-08-22 à 22:29

Je n'ai pas la même démonstration que flight.

J'ai distingué les différents chevauchements possibles des deux carrés.
Premier cas, 4 cases communes : $(n-1)(p-1)$ possibilités.
Deuxième cas, deux cases communes : $2(n-2)(p-1)$ possibilités si elles sont verticales, $2(n-1)(p-2)$ possibilités si elles sont horizontales.
Troisième cas, 1 case commune : $4(n-2)(p-2)$ possibilités.
Total :
$(n-1)(p-1) + 2(n-2)(p-1) + 2(n-1)(p-2)+ 4(n-2)(p-2) = (n-1+2(n-2))(p-1+2(p-2))=(3n-5)(3p-5)$

On divise par les $(n-1)^2(p-1)^2$ cas possibles pour obtenir la probabilité qu'il y ait chevauchement.

On peut généraliser en remplaçant les deux carrés 2x2 par deux rectangles axb avec $a\leq n$ et $b\leq p$ (en imposant le côté a parallèle au côté n).

On obtient comme probabilité de chevauchement $f_a(n)f_b(p)$

avec $f_a(n)=1$ si $2a\geq n+1$ et $f_a(n)=\dfrac{(2a-1)n-(a-1)(3a-1)}{(n+1-a)^2}$ si $2a\leq n$ .