On pense de suite à Francis Guthrie et sa théorie des  4 couleurs.

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Je dirai E(np/4-2 )

Bonjour dpi    avec ta formule si je prend n = p = 3
E(3*3/4 - 2)= E(9/4-2)=E(2,25-2)=E(0,25)= 0 ....

Je sortais  les deux déjà noircies.
De plus 3x3 est un cas exceptionnel car il n'est pas possible de mettre une deuxième case noire si on met la première au milieu

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Je corrige donc
E(np/4-1)

c'est pas encor ca ...
si je choisi ma premiere  case dans le coin superieur gauche de ma grille 3x3 , combien ai je de possibilités pour la seconde case ?

Depuis le début,je travaille sur deux cases déjà posées et combien
d'autres sont possibles
Je reviens demain

Bonjour,

je trouve :

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Bonjour,

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L'exemple de n=3 et p=3 démontre qu'une formule unique ne peut
exister; en effet  en fonction de la première case noircie,il y a 3 solutions.


Pour le cas général ,je penche pour  np/4-1 qui doit convenir dans la majorité des cas

@dpi,
je crois que tu n'as pas bien compris la question.
Dans le cas d'une grille 3x3 on ne peut pas choisir la case centrale (elle interdit toutes les autres).
Mais si on choisit la case en haut à gauche il y a 5 possibilités pour la seconde case, si on choisit la seconde case de la 1ère ligne il y a 3 possibilités pour la seconde case, etc...

OUI ,Je ne comptais pas les symétriques; par ailleurs flight
n'interdit pas  la case centrale.

Bonjour à tous ...

jandri   sauf erreur de ma part si n =p = 3   j'aurai en tout  
pour les cases dans les coins de la grille j'ai 5*4 = 20 possibilités
pour :
la seconde case de la 1ère ligne  = 3 possibilités .
la premiere case de la seconde ligne  = 3 possibilités .
la troisieme  case de la seconde ligne   = 3 possibilités .
la seconde case de la troisieme ligne  = 3 possibilités .
soit 12 possibilités .
case centrale = 0 possiblités .

20+12=32  possibilités .

avec ta formule je trouve : 16 possibilités  ....sauf erreur de ma part

@flight,

c'est normal que tu trouves deux fois plus que moi, tu compte deux fois chaque possibilité.
Par exemple le cas où les deux case choisies sont les cases 1 et 3 de la première ligne est obtenu deux fois : une première fois avec la première case au coin haut gauche de la grille, une seconde fois avec la première case au coin haut droit de la grille.
C'est comme si tu choisissait une première case puis une seconde case (avec un ordre).
Or ton exercice dit "On choisit de colorier au hasard deux cases de cette grille en noir", donc c'est un tirage simultané (sans ordre).

exact !! ( merci pour cette remarque ) .... en effet les deux cases sont du meme colori

du coup on a  bien N possibilités = (3n-2)  + (p/2)(n³-9n+6)

Il y a une petite erreur, il faut remplacer par .