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gros probleme d equations a resoudre

Posté par fox (invité) 14-11-04 à 17:23

Bonjour,g un tres gros problème de résolution d'équation.
Voici l'énonce de mon problème :
Le pays P compte actuellement 6 millions d'habitants.Cette population s'accroit naturellement chaque année de 10%.Par ailleurs,chaque année,ce pays attire 1 million d'immigres.
On définit la suite (Un) qui représente le nombre d'habitants au bout de n années et on lui associe la suite(Vn) définies par Vn=Un+k ou l'on choisira k pour que la suite(Vn) soit géometrique.
On peut alors calculer Vn et Un en fonction de n.
Je suis arrive à 2 équations :
v_n+1=v_n*q=(u_n+k)*q
v_n+1=u_n+1+k=1.1 u_n+10⁶+k
pouvez-vous m'aider.merci beaucoup.

Posté par re : gros probleme d equations a resoudre 14-11-04 à 18:04

Bonsoir fox,

travaille en million cela évite de se "trimbaler" les $10^6$

Le pays P compte actuellement 6 millions d'habitants :

Donc Uo=6

Soit n un entier naturel

Cette population s'accroit naturellement chaque année de 10%

donc $1,1U_n$ fait partie de l'expression de $U_{n+1}$

Par ailleurs,chaque année,ce pays attire 1 million d'immigres.

donc +1 vient s'ajouter à l'expression de $U_{n+1}$

Conclusion :

$Uo=6$
$3$U_{n+1}=1,1U_n+1$

$V_{n+1}=U_{n+1}+k=1,1U_n+1+k=q(U_n+k)$

d'où $1,1U_n+1+k=q(U_n+k)=qU_n+qk$

en prenant $q=1,1$ on a donc $1+k=1,1k$ soit $k=10$

donc en posant $V_n=U_n+10$ alors $(V_n)$ est une suite géométrique de raison 1,1

Salut

Posté par simone (invité)re : gros probleme d equations a resoudre 14-11-04 à 18:09

On a $U_0=6 000 000$ .Par ailleurs, pour tout $n$
$U_{n+1}=U_n+\frac{10}{100}U_n+1 000 000$ soit
$U_{n+1}=(1+0,1)U_n+1 000 000=1.1U_n+1 000 000$ .

Pour tout $n$ , $V_{n+1}=U_{n+1}+k= 1,1U_n+1 000 000 +k=1,1${U_n+\frac{1 000 000+k}{1,1}}$$ pour que $(V_n)$ soit géométrique il suffit que $\frac{1 000 000+k}{1,1}=k$ donc que $k= 10 000 000$ on alors $V_{n+1}=1,1(U_n+k)=1,1V_n$ ce qui prouve que $(v_n)$ est géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $V_0=U_0+k=16 000 000$ Dès lors le terme général de $(V_n)$ est $V_n=16 000 000 (1,1)^n$ et celui de $(U_n)$ est $U_n=V_n-10 000 000 = 16000000(1,1)^n-10 000 000$ .
Salut

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