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Groupe abélien
Bonsoir,
Je me bloque sur cet exrecice, pouvez-vous m'aider svp.
" Soit G un groupe, l'opération étant notée ".". Si x appartient à G, on pose x²:=x.x .
1) Montrer que G est un groupe abélien si et seulement si (x.y)² = x².y² pour tout x,y appartenant à G.
2) En déduire que si G a la propriété que x²=1 pour tout x appartenant à G, alors G est abélien. Donner des exemples de tels groupes. "
Merci d'avance.
Salut, le sens si G abelien alors (xy)²=x²y² est trivial
Faisons l'autre sens:
Si pour tous x,y : (xy)²=x²y²
alors (xy)²=(xy)²
x²y² = xyxy
en multiplian par l'inverse x à gauche et par l'inverse de y à droite on aboutie à :
xy = yx d'ou G est abélien
Bonsoir 
1) (xy)²=(xy)(xy)=x(yx)y
x²y²=x(xy)y
Or (xy)²=x²y² donc x(yx)y=x(xy)y d'où par régularité yx=xy donc GH est abélien
2) Si pour tout x, x²=1
Alors :
(xy)²=1=x²y²=x(xy)y et on conclut comme précédemment.
G est un groupe d'après ton énoncé, il est donc stable par la loi de composition interne ".". Pour qu'il soit abélien il faut qu'il soit commutatif, c'est-à-dire: (x.y).(x.y)=x.x.y.y=x2.y2, ce que tu dois démontrer par double implication.
Si x2=1, c'est à dire l'élément neutre (je suppose) pour la multiplication, tu as facilement l'égalité précédente.
Vu que je sais deja que c'est un groupe, j'ai pas à montrer qu'il a un élément neutre, qu'il est symétrique, et tout et tout, si?
Euh je n'ai pas compris...
On a pour tout x, x²=1
Donc en particulier (xy)²=1
Mais on a aussi x²y²=1*1=1
D'où (xy)²=x²y² et on est ramené au 1.
Il y a plus simple que de se ramener au 1 avec une petite astuce :
xy=xey=x(xy)(xy)y=x²yxy²=yx
d'ou G abélien
Comme exemple tu peux prendre (Z/2Z)^p c'est ce que lolo217 a dit, en fait en travaillant à peine unpue plus on peut montrer que (Z/2Z)^p sont les seuls groupes finis vérifiant la propriété que pour tout x x²=1
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