Bonjour,

qu'avez vous comme définition du groupe de Klein ?

un groupe de 4 éléments
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Klein il y a une table de sa loi additive dans Wikipédia

des groupes de 4 éléments: il y a :
Vous le voulez commutatif ? , pour utiliser la notation additive

dans ce cas
le groupe cyclique: (Z/4Z,+) dans le cas où on peut trouver un élément d'ordre 4.

sinon, il existe un élément neutre d'ordre 1, un élément a d'ordre 2, et au moins un élément b distinct de a......

a+a=0
a+b =c;
a+c = a+a+b = 0+b=b

0;a;b;c sont tous distincts.

à a on associe (1;0) de Z/2Z x Z/2Z
à b on associe (0;1)
et à c on associe (1,1)......

vérifiez que c'est un isomorphisme de groupe.

salut j'ai pas compris pourquoi vous m'avez dit "le groupe cyclique: (Z/4Z,+) dans le cas où on peut trouver un élément d'ordre 4." et je sais que le groupe z/4z n'est pas isomorphe a (z/2z)².

je vous ai donné tous les groupes commutatifs d'ordre 4:

groupe cyclique, groupe de Klein.....


.
(si mes souvenirs sont bons)
il en existe un autre non commutatif....
le groupe des symétries du carré.

il n'y a que (à isomorphisme près) 2 groupes de cardinal 4 .

1er cas : il existe un élément d'ordre 4 , alors ton groupe c'est  e, a, a², a³

si  a  tu "l'appelles" 1 et que la loi  *  tu l'appelles "+" tu obtiens Z/4Z.

Un isomorphisme de groupe tu peux voir ça en une façon de changer le nom des éléments ET de l'opération.

PAr exemple ce groupe est aussi isomorphe au groupe multiplicatif des racines 4 ième de 1 .
le  a  tu l'appelles  exp(2i /4) et le  *  c'est  x .

2ième cas : il n'existe pas d'élements d'ordre 4 . Et là c'est  Z/2Zx Z/2Z ou K  comme tu veux.

ah okay merci

ce que jai compris si'l ya un groupe d'ordre 4 donc soit il isomorphe à z/4z dans le cas ou il a un élément d'ordre 4 si non il est forcément isomorphe a (z/2z)² c'est ça

oui, si le groupe est commutatif, c'est isomorphe soit à Z/4Z soit  à (Z/2Z)²

car z/4z et (z/2z)² sont commutatif c'est ça !!

Bonjour,

Je me permets de répéter ce qu'a dit lolo271, il n'y a que deux groupes d'ordre 4.
Et ils sont tous les deux commutatifs : il n'existe pas de groupe non-commutatif d'ordre 4.

re-bonjour.

oui

Frenicle a raison,

il n'y en a pas  de non-commutatifs d'ordre 4.

Et on peut considérer que le groupe de Klein c'est un espace vectoriel de dimension 2 sur Z/2Z.