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Groupe des inversible de Z/nZ

Posté par
mousse42
11-03-21 à 19:18

Bonjour,
J'aimerai juste savoir (c'est un collègue qui me pose la question) s'il est simple de déterminer  pour un n\in \N, le cardinal de \{\bar a\in (\Z/n\Z)^\times : \bar a^2=1\} dit autrement on cherche le nombre d'éléments de (\Z/n\Z)^\times qui sont d'ordre 2 et ceci pour tout n\ge2
J'ai cherché 40 minutes, j'ai bien trouvé quelques pistes mais ça m'emmène trop loin , et malheureusement je n'ai pas trop le temps en ce moment.

Je vous remercie

Posté par
carpediem
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 19:29

salut

c'est pas une histoire de résidu quadratique ... par hasard ...

sinon vu que le groupe est commutatif l'application f : x ---> x^2 est un morphisme de groupe

et tu cherches son noyau ...

Posté par
carpediem
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 19:44

et vu que ker f est un sous-groupe de G = (Z/nZ*, x) son cardinal divise n - 1

Posté par
mousse42
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 19:51

ok, merci, je vais creuser un peu plus

Posté par
mousse42
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 19:52

tu veux dire que le cardinal divise \varphi(n), non?

Posté par
verdurin
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 20:03

Bonsoir,
je dis peut-être une bêtise, mais sauf si n=2, il me semble  qu'il y exactement deux éléments de (\Z/n\Z)^\times dont le carré est 1.

Posté par
GBZM
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 20:21

Dans  (\Z/15\Z)^\times, il y a quatre éléments de carré 1

Posté par
verdurin
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 21:00

En effet, j'ai dis une bêtise.

Posté par
GBZM
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 22:22

Bonsoir (mieux vaut tard que jamais),

Il y a intérêt à décomposer le groupe des inversibles en produit suivant les facteurs premiers de n, et utiliser ce qu'on connaît sur la structure des groupes multiplicatifs  (\Z/p\Z)^\times, où p est premier, avec le cas particulier casse-pieds p=2 (the oddest of all primes).

Posté par
mousse42
re : Groupe des inversible de Z/nZ 11-03-21 à 22:36

Je vous remercie pour ces informations.

Posté par
GBZM
re : Groupe des inversible de Z/nZ 12-03-21 à 08:27

Une correction :

GBZM @ 11-03-2021 à 22:22

la structure des groupes multiplicatifs  (\Z/p^k\Z)^\times

Posté par
jandri Correcteur
re : Groupe des inversible de Z/nZ 12-03-21 à 11:51

Bonjour,

le cas p=2 est "casse-pieds" car il s'agit de l'équation (x-1)(x+1)=0 (équivalente à y(y-2)=0).

Pour l'équation x(x-3)=0 c'est le cas p=3 qui est "casse-pieds".

Posté par
GBZM
re : Groupe des inversible de Z/nZ 12-03-21 à 15:22

Mais il n'y a que pour p=2 que le groupe multiplicatif (\Z/p^k\Z)^\times peut ne pas être cyclique.

Posté par
jandri Correcteur
re : Groupe des inversible de Z/nZ 12-03-21 à 16:01

Je suis d'accord.

J'avais pensé à une démonstration arithmétique élémentaire :
pour p\geq3 premier, p^a divise (x-1)(x+1) si et seulement si il divise x-1 ou x+1 donc deux possibilités pour x\pmod{p^a}
alors que 2^a divise (x-1)(x+1) nécessite de traiter séparément les cas a=1, a=2 et a\geq3.

Dans le cas de l'équation x(x-3)=0 c'est la division par 3^a qui nécessite de traiter plusieurs cas.



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