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Niveau maths spé
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Groupe et sous-groupe

Posté par
Lyreon
19-09-21 à 11:23

Bonjour,
je me permet de venir vous demander de l'aide concernant un de mes exercices. Nous sommes plusieurs à bloquer dessus dans ma classe et personne ne parvient à m'aider.

Voilà l'énoncé :
Soit p un nombre premier.
Pour tout entier k , on note Upk={z , zpk=1} le groupe cyclique de racines pk-ièmes de l'unité.
1)Montrer que : kl Upk est un sous-groupe de Upl

On note : Gp= \bigcup_{k\in N}^{}{}Upk
2)Montrer que Gp est un sous-groupe infini de (*, x) qui n'est engendré par aucune partie finie.

On considère un sous-groupe H de Gp et on veut montrer qu'il existe k0 tel que H = Upk0
3) Montrer que l'ensemble K = {k , Upk H} admet un plus grand élément, que l'on notera k0

4)Soit x Gp tel que x Upk0
a)Montrer que l > k0, |x|=pl
b)En déduire que : \left<x \right>=Upl
c)Montrer que : x H

5)Conclure

Je me retrouve bloqué dès la question 1. J'ai :
-  z1k=1neutre OK
-  x,y Upk, x,yl
xpk.ypk = (xy)pk xy Upk
-  Pour l'inverse je bloque.
Je ne suis pas sûr du tout d'avoir bien compris quoi manipuler en partant de l'énoncé pour prouver que c'est un sous-groupe.

En remerciant ceux qui pourront m'aider.

Posté par
GBZM
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 11:43

Bonjour,

As tu remarqué qu'on ne te demande pas de démontrer que c'est un groupe ? L'énoncé l'admet, comme à peu près évident.

Si a^n=1 pour un entier n>0, tu ne vois pas quel peut être l'inverse de a ? Un b tel que ab=1 ?

Posté par
Lyreon
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 11:54

Merci pour votre réponse.

J'ai compris qu'on admettait que Upk est un groupe. Ce que j'essaye de faire est de prouver que Upl est un sous-groupe de Upk. Pour cela je m'aide de la caractérisation des sous-groupes qui dit :
Soit G un groupe et H G, H est un sous-groupe de G si :
- x,y H, xy H
-le neutre de G est le neutre de H
- x H, x-1 H

Concernant l'inverse, selon ce que vous me dites, je dirais  b=1/a
ce qui me donne a.1/a=1

Posté par
GBZM
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 12:16

Si a^n=1, à quoi peut bien être égal 1/a ??

U_{p^k} et U_{p^\ell} sont tous deux des sous-groupes de (\C^*,\times). L'énoncé ne demande pas de le montrer, c'est évident (si tu sais répondre à la question ci-dessus).  La seule chose à vérifier, c'est que si k\leq \ell, alors U_{p^k} \subset U_{p^\ell}.

Posté par
Lyreon
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 12:32

Je n'avais pas compris ça, je pensais qu'il fallait prouver que Upk était un sous groupe.

Si an=1 alors 1/a=an-1?

Et donc si j'arrive à prouver que tout élément de Upk est aussi un élément de Upl j'ai répondu à la question ? N'est-ce pas trivial ? Je ne vois pas vraiment dans quels calculs je pourrais me lancer.

Posté par
GBZM
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 13:29

Citation :
N'est-ce pas trivial ?

Si c'est trivial, tu dois pouvoir l'expliquer simplement.
C'était aussi trivial de trouver l'inverse de a vérifiant a^n=1 ...

Posté par
Lyreon
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 15:01

Je pense avoir trouvé :
Soit k . Soit l tel que kl.
Soit z Upk.

Alors zpk=1

zpl = (zpk)l/k = 1l/k=1
Donc z Upk, z Upl.
UpkUpl

Est-ce que le raisonnement est bon ?

Posté par
GBZM
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 17:15

Non.

Revois ton calcul de puissance. Ça ne va pas du tout.
Tu vois, ce n'est pas si trivial que ça, finalement.

Posté par
Lyreon
re : Groupe et sous-groupe 19-09-21 à 17:39

J'ai refait mes calculs, en m'aidant d'exemples concrets et je trouve :

zpk=1
zpl=(zpk)(l-k)=1(l-k)=1

J'arrive donc à la même conclusion avec ce calcul qui me semble plus exact. Mais ai-je besoin de montrer seulement l'inclusion ? C'est suffisant ?

Posté par
GBZM
re : Groupe et sous-groupe 20-09-21 à 07:57

Ben non, ton calcul sur les puissances ne va toujours pas ! (z^a)^b=z^{ab} et donc

\large \left(z^{p^k}\right)^{\ell-k} = z^{(\ell-k)p^k} .



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