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Groupe et sous-groupe
Bonjour,
je me permet de venir vous demander de l'aide concernant un de mes exercices. Nous sommes plusieurs à bloquer dessus dans ma classe et personne ne parvient à m'aider.
Voilà l'énoncé :
Soit p un nombre premier.
Pour tout entier k 
, on note Upk={z 
, zpk=1} le groupe cyclique de racines pk-ièmes de l'unité.
1)Montrer que : k
l
Upk est un sous-groupe de Upl
On note : Gp= Upk
2)Montrer que Gp est un sous-groupe infini de (*, x) qui n'est engendré par aucune partie finie.
On considère un sous-groupe H de Gp et on veut montrer qu'il existe k0 tel que H = Upk0
3) Montrer que l'ensemble K = {k , Upk 
H} admet un plus grand élément, que l'on notera k0
4)Soit x Gp tel que x 
Upk0
a)Montrer que 
l > k0, |x|=pl
b)En déduire que : =Upl
c)Montrer que : x H
5)Conclure
Je me retrouve bloqué dès la question 1. J'ai :
- z1k=1
neutre OK
- 
x,y Upk, x,yl
xpk.ypk = (xy)pk xy Upk
- Pour l'inverse je bloque.
Je ne suis pas sûr du tout d'avoir bien compris quoi manipuler en partant de l'énoncé pour prouver que c'est un sous-groupe.
En remerciant ceux qui pourront m'aider.
Bonjour,
As tu remarqué qu'on ne te demande pas de démontrer que c'est un groupe ? L'énoncé l'admet, comme à peu près évident.
Si pour un entier
, tu ne vois pas quel peut être l'inverse de
? Un
tel que
?
Merci pour votre réponse.
J'ai compris qu'on admettait que Upk est un groupe. Ce que j'essaye de faire est de prouver que Upl est un sous-groupe de Upk. Pour cela je m'aide de la caractérisation des sous-groupes qui dit :
Soit G un groupe et H G, H est un sous-groupe de G si :
- x,y H, xy H
-le neutre de G est le neutre de H
- x H, x-1 H
Concernant l'inverse, selon ce que vous me dites, je dirais b=1/a
ce qui me donne a.1/a=1
Si , à quoi peut bien être égal
??
et
sont tous deux des sous-groupes de
. L'énoncé ne demande pas de le montrer, c'est évident (si tu sais répondre à la question ci-dessus). La seule chose à vérifier, c'est que si
, alors
.
Je n'avais pas compris ça, je pensais qu'il fallait prouver que Upk était un sous groupe.
Si an=1 alors 1/a=an-1?
Et donc si j'arrive à prouver que tout élément de Upk est aussi un élément de Upl j'ai répondu à la question ? N'est-ce pas trivial ? Je ne vois pas vraiment dans quels calculs je pourrais me lancer.
N'est-ce pas trivial ?
Si c'est trivial, tu dois pouvoir l'expliquer simplement.
C'était aussi trivial de trouver l'inverse de
Je pense avoir trouvé :
Soit k . Soit l tel que kl.
Soit z Upk.
Alors zpk=1
zpl = (zpk)l/k = 1l/k=1
Donc z Upk, z Upl.
UpkUpl
Est-ce que le raisonnement est bon ?
Non.
Revois ton calcul de puissance. Ça ne va pas du tout.
Tu vois, ce n'est pas si trivial que ça, finalement.
J'ai refait mes calculs, en m'aidant d'exemples concrets et je trouve :
zpk=1
zpl=(zpk)(l-k)=1(l-k)=1
J'arrive donc à la même conclusion avec ce calcul qui me semble plus exact. Mais ai-je besoin de montrer seulement l'inclusion ? C'est suffisant ?
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