salut

ben les coefficients de la matrice sont simplement les éléments de Z/2Z

Bonjour carpediem,

Mais les éléments de Z/2Z ce sont les classes d'équivalences, donc la classe de 0 et de 1 non ?

Est-ce que les matrices de GL2(Z/2Z) seraient alors les matrices constituées uniquement de 1 et 0 et qui seraient inversibles ?

Et de plus, on me demande de faire opérer ce groupe sur (Z/2Z)² pour y trouver les orbites...
Je vous avoue que je sèche totalement...

Bonsoir,
Z/2Z est un corps dont les éléments sont 0 et 1, avec 1+1=0.

Les matrices correspondant aux éléments de  GL₂(Z/2Z) sont bien les matrices inversibles constituées uniquement de 1 et 0.

Sauf erreur de ma part il y en a six.

(Z/2Z)^2 est effectivement un espace vectoriel sur Z/2Z comme l'est R^2 sur R ou C^2 sur C ...

Je pense avoir compris des choses... Cela pourrait peut être en aider :

J'ai dessiné (Z/2Z)² comme un petit carré à 4 points ABCD où chaque point représente un élément de (Z/2Z)²
Je leur ai alors donné des coordonnées tel que :  A=(0,0),B=(0,1),C=(1,0),D=(1,1)
On a alors C + D = B ou B+D = C etc

Et puis je fais agir le groupe GL2(Z/2Z) sur cet ensemble (Z/2Z)²
C'est à dire que je prends une matrice de GL2(Z/2Z) et je la multiplie à un vecteur de (Z/2Z)² (les vecteurs coordonnées de mes points A B C D plus haut donc)

Déjà, quelque soit l'action que j'opère sur A(0,0) cela me donnera 0,0 Donc l'orbite de A est (0,0)

Puis pour tous les autres, je peux toujours trouver une matrice de GL2(Z/2Z) qui transformera ce point en un des trois autres point.
Donc pour chaque point, son orbite contient 3 éléments.

Ah et attendez, je crois avoir compris comment trouver tous les éléments de GL2(Z/2Z) :

Je reprends mes points A,B,C,D comme tout à l'heure
Donc les éléments de GL2(Z/2Z) ce sont des applications qui transforment un point en un autre
Étant donné que comme dit plus haut, A ne bougera pas quelque soit l'action que je lui applique, parce que une matrice multiplié par (0,0) ça fera toujours (0,0), je mets ce point de côté.

Il reste donc B,C,D.
Les actions possibles c'est celle qui transforme :
1)D en D/C en B/B en C
2)C en C/D en B/B en D
3)B en B/C en D/D en C
4)A en B/B en C/C en A
5)A en C/C en B/B en A
6) Et j'ai failli oublier la plus simple : A en A/B en B/C en C

Donc chacune peut être représenter par une matrice de GL2(Z/2Z), il y en a bien 6 comme tu l'avais dit verdurin !

Et donc je peux peut être conclure que GL2(Z/2Z) est isomorphe au groupe des permutations à 2 éléments ? Les deux ont 6 éléments et il y a sûrement une bijection entre les deux. Enfin je vais peut être trop loin