salut

c'est quoi la définition du groupe orthogonal ?

Ce sont toutes les matrices telles que A^tA=I

Bonjour,

Du boulot très rapidement : Tu peux préciser le contexte, car



n'est pas -diagonalisable.

Bonjour !
Si désigne une matrice diagonale, ton résultat est faux.
Prends le cas d'une rotation d'angle dans le plan euclidien !

Ce qu'on peut montrer dans le cas général c'est l'existence d'une matrice orthogonale telle que   est formée de blocs diagonaux .

ouais ou alors il a oublié de préciser que D est une matrice "diagonale par bloc" ...

si A est orthogonale alors c'est une isométrie : pour tout vecteur u : ||Au|| = ||u||

les seules valeurs propres réelles sont donc 1 et -1

les autres valeurs propres sont complexes de module 1 et correspondent à des rotations

...

Il faut travailler par récurrence sur la dimension.
Les cas de dimension 1,2 sont connus.
Si (de matrice orthogonale) a une valeur propre et un vecteur propre , l'orthogonal est stable par et on raisonne sur l'hyperplan qui est de dimension .
Sinon, l'endomorphisme est symétrique et admet un vecteur propre et tu montres que est stable par .
La restriction de à ce plan est une rotation plane et tu montres que l'orthogonal est stable aussi, ce qui permet de faire la récurrence.

Merci pour votre réponse.

Mais je ne saisis pas tout.
Je pensais qu'on pouvait justifier le résultat avec un argument plus simple notamment en utilisant le fait que la matrice de passage d'une BON à une autre BON appartient au groupe orthogonale, ce qui justifie que U appartient au groupe orthogonale.

Et tu penses que, juste parce que tu prends des bases orthonormées au hasard, tu auras une matrice en blocs diagonaux ?

Non évidemment. Ces matrices doivent être bien choisi. Mais ça peut expliquer en partie l'appartenance de U au groupe orthogonale ?

Bien entendu dans le raisonnement par récurrence proposé tu choisis systématiquement des bases orthonormées.