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Groupe symétrique
Bonsoir,
J'ai des exercices pour m'entrainer pour mon partiel de lundi mais je n'ai aucun corrigé, pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct ?
Soit s = (1; 4; 2)(2; 7)(1; 4; 6)(8; 9; 3).
1) Donner l'écriture matricielle puis le support de s. Même question pour s−1 et s2.
J'ai trouvé pour s :
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(2 7 8 6 5 4 1 9 3)
Pour s^-1 :
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(7 1 9 6 5 4 2 3 8)
Pour s^2 :
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(7 1 9 4 5 6 2 3 8)
Supp(s)=Supp(s^-1) = {1,2,3,4,6,7,8,9}
Supp(s^2) = {1,2,3,7,8,9}
2) Déterminer la décomposition canonique de s en produit de cycles disjoints. En déduire celle de s−1.
s=(1,2,7)(3,8,9)(4,6)
Je sais pas comment déduire s^-1 ??
Sinon en "calculant" j'ai trouvé :
s^-1 =(1,7,2)(3,9,8)(4,6)
3) Calculer s6 puis s37 et s41.
s6 :
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(7 1 9 4 5 6 2 3 8)
Pour s37 et s41 je ne sais pas comment faire. Sont ils égaux à s^3 comme ils sont impairs?
s^3 :
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(1 2 3 6 5 4 7 8 9)
4X) Donner une écriture de s comme produit de transpositions.
(t17°t21)°(t39°t83)°t46
avec tij, permutation du chiffre i avec le chiffre j
5X) Déterminer la signature de s.
C'est un 8-cycle ? Donc (-1)^(8-1) = -1, permutations impaires.
Si vous pouviez me corriger, je vous remercie 
Salut,
Ne dois-tu pas écrire la matrice de permutation pour l'écriture matricielle ?
Pour 2) : Quand tu as des produits disjoints, faire revient à faire
.
Pour 3) Si tu fais applique un certain nombre de fois s tu vas retomber sur la même chose... Le plus petit nombre à vérifier ça est le ppcm des ordres des cycles disjoints.
Pour 4 ) Une transposition s'écrit juste (i j)...
Salut,
La matrice de permutation ne m'est pas demandée...
2) Du coup mon s^-1 est bon ou pas ? Je ne comprends pas ce que ta réponse signifie physiquement avec les chiffres...
3) Donc l'ordre est 8, c'est ça ? Du coup je fais le ppcm de 8 et quel nombre ?
4) (17°21)°(39°83)°46
Désolée je suis arrivée en cours d'année et je n'ai pas eu le cours qui va avec je dois donc tout comprendre seule et malgré tous les cours que j'ai pu lire, l'application me laisse encore quelques difficultés.
Merci à toi
2) Et bien il te suffit juste de trouver les inverses de chaque cycle. C'est à toi d'être sûre si tu as le bon résultat.
3) Ce n'est pas un 8-cycle, la preuve par la question d'avant où tu as justement décomposé ta permutation en produits de cycles disjoints !
4) Bizarre ton écriture, pourquoi il y a de temps en temps des parenthèses et de temps en temps non ?
Il serait préférable que tu récupères le cours d'un camarade, ou que tu te renseignes avant sur Internet.
2) J'ai bien compris mais pour savoir si j'ai compris il faudrait me dire si j'ai bon non?
s=(1,2,7)(3,8,9)(4,6)
donne donc :
s^-1 = (7,2,1)(9,8,3)(6,4) ?
Ou j'avais bon précédemment ?
3) C'est donc un 3 cycles ?
4) Justement j'ai cherché sur internet ! Mais le problème c'est qu'il a très peu d'exemples et j'ai donc beaucoup de mal à comprendre les notions. Je ne peux pas demander à des camarades puisque j'ai changé d'orientation et je passe des examens anticipés car j'ai déjà fait tout le programme (et eux, en l'occurence n'en sont pas encore à ce chapitre), seulement, le professeur m'a dit de travailler ce chapitre seule pour voir ma capacité à être autonome puisque c'est le seul chapitre que je n'avais pas abordé dans mes études antérieures.
Sauf que je ne trouve pas d'exemples ou d'exercices corrigés alors difficile de visualiser physiquement les notions, c'est pourquoi je cherche de l'aide...
Merci
s^-1 est bon dans ce cas.
Non, il faut revoir la définition.. Un n-cycle est une permutation avec une seule orbite. Ici tu as 3 orbites d'après ta décomposition.
Tu peux juste écrire .
2) D'accord merci.
Mais du coup, pourquoi calculer s^-1 en faisant (s)^-1 ne donne pas la même chose que lorsqu'on calcule s^-1 de la manière dont on calcule s ? On n'a pas droit de calculer s^-1 de la même manière que s du coup ?
3) J'ai regardé la définition mais je n'arrive pas à l'appliquer dans mon cas. Du coup, ce n'est pas un cycle d'après ce que je comprends puisque c'est un produit de cycles disjoints, c'est ça ? Si tu pouvais m'éclairer, c'est vraiment une notion que je ne comprends pas... mais du coup comment calculer la signature et s37, s41..?
4) Super merci j'ai compris !
Merci beaucoup
2) Je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire.. Tu fais bien comme tu veux pour trouver s^-1, il faut bien sûr arriver au même résultat.
3) Ce lien t'aiderait grandement je pense : http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/cycles.pdf
2) Oui d'accord, je vais faire ta méthode qui semble plus appropriée
3) J'ai tout lu mais je n'ai vu d'écrit nulle part l'histoire du n-cycle. n correspond à l'ordre ?
Donc
s=(1,2,7)(3,8,9)(4,6)
alors ppcm (3,3,2) = 6 ? C'est ça ?
Du coup c'est un 6-cycle !
Du coup,
6*6=36
(6*6)+1 = 37
s37 = s ?
6*7 = 42
(6*7)-1=41
s41 = s^-1
C'est ça ? 
Merci à toi !
je te conseille la chaîne YT : maths adulte : https://www.youtube.com/channel/UC9Vaxx3-gWuBxt38pao4XCQ/videos
Sa Playlist sur les groupes de symétrie : https://www.youtube.com/playlist?list=PLE8WtfrsTAilMLZaOwTQH90gDCMxFhvhc
Merci je vais regarder de ce pas !
Si vous pouviez juste me dire si la fin de mon exo est bon je vous remercie
On dit qu'une permutation est un n-cycles s'il est une seule orbite de longueur n.
Ici, s est un produit de 3 orbites d'après la décomposition canonique en produits disjoints (et il faut absolument que cela soit sous cette forme pour compter le nombre d'orbites !)
Si une orbite est de longueur k, alors l'orbite mise à la puissance k redonne l'orbite en question (c'est évident, mais tu peux l'écrire si tu ne vois pas très bien d'où cela vient).
Ainsi, si on prend le ppcm des longueurs des différentes orbites, on retombe sur s (car chaque orbite sera à nouveau "elle-même").
Donc ici, s^(ppcm(3,3,2))=s^(6)=id (car on retombe sur nos pattes, c'est l'effet voulu), ce qui est demandé, ce n'est pas pour rien.. On en déduit le fait que s^(37)=s et s^(41)=s^(-1).
"Ainsi, si on prend le ppcm des longueurs des différentes orbites, on retombe sur s (car chaque orbite sera à nouveau "elle-même"). "
Je veux bien sûr dire que l'on retombe sur le même nombre à chaque fois, i.e. cela revient à appliquer l'identité... Il est tard, désolé.
Si vous pouviez juste me dire si c'est ça pour que je sois sûre de ce que j'ai compris, merci mille fois
La question 4) te donne la réponse, car une transposition a pour signature -1...
D'où sort le 6 dans la puissance ??
Effectivement ! Mais s n'est pas un 6-cycle !!
As-tu au moins compris la définition d'un n-cycle ? Il faut que la permutation en entier soit composée d'un seul cycle, sinon cela ne va pas.
Là, s est composé de 3 cycles..
Ah j'avais compris que dans un k-cycle, k était égal à l'ordre.
Mais du coup, admettons que ce soit un 3 cycle. Donc (-1)^3-1 = 1 et non -1 comme tu as dit...
Tu peux m'expliquer ?
Merci
Mais ce n'est pas un 3-cycle ! C'est composé de 3 cycles, c'est tout !!
Ici, s n'est clairement pas un n-cycle, car il ne s'agit pas d'un seul cycle mais d'un produit de 3 cycles !
As-tu compris ça ?
Et je n'ai rien dit sur la signature de s, j'ai juste donné la signature d'une transposition.
Ahhh ben du coup on est d'accord, j'avais même écrit :
Du coup, ce n'est pas un cycle d'après ce que je comprends puisque c'est un produit de cycles disjoints, c'est ça ?
le 23/02 à 13h07
Tu entends quoi par la signature d'une transposition ?
genre la signature de p=(1,2) => -1 c'est ça ?
Mais là du coup comme c'est pas un n-cycle, je trouve comment la signature de s ?
Merci !
Pardon, je n'ai pas relu tout le post pour avoir vu que tu avais effectivement écrit ceci.
Oui, la signature d'une transposition (i,j) vaut -1.
Si tu as deux permutations , que vaut
(où
est la signature) ?
Si une permutation a pour signature -1. Pour deux permutations on multiplie (-1)*(-1) ?
Pour trois, (-1)*(-1)*(-1) ?
Bonjour,
Rappel de Flewer du 25-02-17 à 23:07 :
Si tu as deux permutations
@Yelia41 : Si tu réponds à cette question, tu répondras à la tienne.
Si tu réponds à cette question, tu répondras à la tienne.J'essaie justement d'y répondre ! C'est ma réponse à cette question si tu lis bien.
Du coup pour moi ce que j'ai écrit semble logique, dîtes moi au moins si mon raisonnement est bon ou pas...
Merci !
Merci mais donc en soi j'ai bon puisque la signature est de la parité du nombre des transpositions.
Il y a 5 transpositions donc -1 non ? Ca fait plusieurs fois que je pense avoir compris et à chaque fois vous me rajoutez quelque chose que j'ai déjà l'impression d'avoir compris.
Bon, est ce que -1 est la réponse ?
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