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groupes, anneaux, corps
Bonjour petit problème avec une question d'un exercice:
je dois montrer que:
On pose pour z ∈ Q[racine(2)] , N(z) = z *
soit z appartenant à Z[racine(2)] qu'on nous defini au debut de l'exercice comme étant {a + b*racine(2) , (a,b) ∈ Z^2} est inversible SI ET SEULEMENT SI N(z) = 1
De plus Q[racine(2)] = {a + b*racine(2) , (a,b) ∈ Q^2 }
et jusqu'a present nous avons deja montrer que Q[racine(2)] est un sous corps de R et que Z[racine(2)] est un sous anneau de Q[racine(2)]
en fait j'essaye de montrer les deux implications mais je bloque à chaque fois.
Mrc d'avance pour toute votre aide
l'inverse de x signifie que il existe un element que je note y telle que x * y = y * x = e
avec e l'element neutre et * la loi de composition interne
or ici je ne sais pas trop comment les identifier
en fait d'ou viens le - c'est ca que je ne comprend pas trop
l'element neutre de Z[racine(2)] pour la loi multiplicatif est 1 non ?
donc si xy = 1 (parce que ici l'élément neutre ben c'est 1)
alors on a N(xy) = N(1) = 1 et la norme est multiplicative ... et comme on est dans Z[r(2)] ....
Mrc bcp pour ton aide le souci a présent c'est pour la réciproque
Si z est inversible alors N(z) = +/- 1?
Je ne vois pas trop comment m'y prendre j'ai tenté par contraposé mais je bloque donc je présume que c'est pas la bonne méthode
donc si xy = 1 (parce que ici l'élément neutre ben c'est 1)
alors on a N(xy) = N(1) = 1 et la norme est multiplicative ... et comme on est dans Z[r(2)] ....
or N(x) et N(y) sont des entiers relatifs ...
Donc soit N(x) = 1 et N(y) = 1 ainsi
x * x(barre) = y * y(barre) = 1
Soit N(x) = -1 = N(y)
ainsi x * x(barre) = y * y(barre) = - 1
D'après la définition d'un élément inversible on a +/- x(barre) ou y(barre) mais puisqu'il y a unicité de cette élément inversible x(barre) = y(barre)
Bonjour, je suis encore bloqué sur la suite cette fois ci on a U défini comme l'ensemble des éléments inversible de Z[r(2)] j'ai montrer que (U, X) est un groupe
Mais en quoi cela peut m'amener à justifier que U est infini
En effet la question me demande de déduite du fait que c'est un groupe que U est infini et j'y arrive pas
Je n'ai rien vu me permettant de justifier qu'un ensemble est infini. Bien sur je pourrai raisonner par l'absurde puisque je connais la définition d'un ensemble fini mais je ne vois pas comment procéder
De l'aide je vous en pris
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