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Niveau Maths sup
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groupes cycliques

Posté par
davidk
16-05-05 à 20:19

Soit G un groupe cyclique fini.
1)Démontrer que G est isomorphe à/m avec m app à *
2)Démontrer que tout sous-groupe de G est encore cyclique
3)Démontrer que pout tout diviseur d de l'ordre G, il existe un unique sous-groupe H de G d'ordre d.

Waouhh, j'ai chaud à mon front....

Posté par pat94 (invité)groupes cycliques 16-05-05 à 20:35

salut toi

1)G est cyclique ssi il est monogène fini (c'est a dire fini et engendré par un de ses éléments donc G = <a> = {ak | k } )
alors si on appelle m le cardinal de G et k le reste de k modulo m
on a un isomorphisme :
  /m G
  kak

donc les deux groupes sont isomorphes

Posté par
davidk
re 16-05-05 à 20:42

Et en introduisant la fonction psi : grand Z dans G et n associé à a puissance n.
J'introduirais les notions d'images (im) et noyau(ker) de cette application psi mais après c'est dur. Cet exercice rompt ma symbiose néonatale entre moi et les maths.

Posté par pat94 (invité)pas de panique.. 16-05-05 à 20:51

ne panique pas cher davidk

d'abord psi est clairement surjective car si tu prend un element z dans G il s'ecrit de la forme ak donc k est bien un antécédant de z par psi

puis psi est injective car si ak = e (neutre de G) alors k divise le cardinal du groupe donc k = 0

puis psi est un morphisme car psi(k+ k') = ak+k'=akak'

on a donc bien un iso

Posté par
otto
re : groupes cycliques 16-05-05 à 20:54

Pourquoi parler de Ker et d'image ici?

Pour la 2:
H<G
Soit h,h' 2 éléments de H.
h=g^k pour un certain k.
h'=g^k' pour un certain k'

Je te laisse voir ce que tu peux trouver.

Pour la 3, il suffit de se servir de 1 et 2 conjointement.

Posté par
davidk
re 16-05-05 à 20:56

Waouh, je viens de vider la bouteille de Sunny delight(sponsorisé par la FFBB)(140kcal/L).
Merci pat.



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