Soit G un groupe cyclique fini.
1)Démontrer que G est isomorphe à/m avec m app à *
2)Démontrer que tout sous-groupe de G est encore cyclique
3)Démontrer que pout tout diviseur d de l'ordre G, il existe un unique sous-groupe H de G d'ordre d.
Waouhh, j'ai chaud à mon front....
salut toi
1)G est cyclique ssi il est monogène fini (c'est a dire fini et engendré par un de ses éléments donc G = <a> = {ak | k } )
alors si on appelle m le cardinal de G et k le reste de k modulo m
on a un isomorphisme :
/m G
kak
donc les deux groupes sont isomorphes
Et en introduisant la fonction psi : grand Z dans G et n associé à a puissance n.
J'introduirais les notions d'images (im) et noyau(ker) de cette application psi mais après c'est dur. Cet exercice rompt ma symbiose néonatale entre moi et les maths.
ne panique pas cher davidk
d'abord psi est clairement surjective car si tu prend un element z dans G il s'ecrit de la forme ak donc k est bien un antécédant de z par psi
puis psi est injective car si ak = e (neutre de G) alors k divise le cardinal du groupe donc k = 0
puis psi est un morphisme car psi(k+ k') = ak+k'=akak'
on a donc bien un iso
Pourquoi parler de Ker et d'image ici?
Pour la 2:
H<G
Soit h,h' 2 éléments de H.
h=g^k pour un certain k.
h'=g^k' pour un certain k'
Je te laisse voir ce que tu peux trouver.
Pour la 3, il suffit de se servir de 1 et 2 conjointement.
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