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groupes cycliques et ordre d'un élement

Posté par
Citronjaune 13-01-18 à 19:55

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour un problème de maths.
On a un groupe cyclique (G, .) de cardinal n et on note x un générateur de G. On me demande de déterminer l'ordre o(x^k) avec k appartenant a Z, afin de trouver une CNS pour que x^k soit un générateur de G.
Merci pour votre aide.

Posté par
carpediemre : groupes cycliques et ordre d'un élement 13-01-18 à 20:24

salut

pour tout élément g du groupe G cyclique de cardinal n : x^n = e où e est le neutre de G

donc évidemment pour tout k x^k \in G => (x^k)^n) = e

on constante alors que si k divise n alors il existe d tel que kd = n et (x^k)^d = x^n = \\ e  donc l'ordre de x^k ...

Posté par
luzakre : groupes cycliques et ordre d'un élement 14-01-18 à 10:17

Bonjour !
Si \delta=n\wedge k (pgcd) tu as n=\delta n',\;k=\delta k'.
Calcule (x^k)^{n'}. Il te reste à montrer que l'exposant n' est le plus petit possible...


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