Par exemble, l'ensemble des groupes cycliques de cardinal 7 et les groupes S₁, S₂, S₃ ainsi que A₁,A₂,A₃ fonctionnent-ils? y en a t'il d'autres?

salut

on te demande donc la liste des groupes d'ordre 2, 3, 4, 5, 6 et 7 ...

dans le cas des ordres qui sont des nombres premiers c'est très simple ...

il ne te reste qu'à regarder ce qui se passe pour les ordres 4 et 6 ...

et le groupe d'ordre 1 qui est trivial bien sûr !!

Je pense comprendre un peu mieux :

Le groupe trivial est le seul d'ordre 1.

Ensuite, pour les groupes d'ordre premier, par le corollaire du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément divise le cardinal du groupe. Les seuls diviseurs des premiers étant eux mêmes et 1, ils ne peuvent pas être d'ordre 1 sinon ils seraient triviaux.
Il s'agit donc des groupes cycliques d'ordre premier.

J'ai une question à ce sujet, ça veut donc dire par ailleurs que le groupe alterné A₃ est cyclique (car d'odre 3) , il est clairement fini, mais je ne vois pas pourquoi il est monogène

Pour les groupes d'odre 6, il y a bien sur S₃, mais est-il le seul, je ne le sais pas, et pour l'ordre 4 je n'ai pas trop d'idées .

Merci

de toute façon pour tout entier n il existe le groupe cyclique d'ordre n

si n est premier c'est fini

si n n'est pas premier alors par exemple pour n = 6 il existe un sous-groupe d'ordre 2 et un sous-groupe d'ordre 3

si G = {1, a, a^2, ..., a^5} alors {1, a^2, a^4} et {1, a^3} sont (les) deux sous-groupes de G (d'ordre 3 et 2 resp.)

maintenant le pb est donc : est-ce que tout sous-groupe d'ordre 4 (ou 6) est cyclique ?

réponse : non ... mais à toi d'aller chercher sur le net ...

tu me parles de S₃ ... donc est-il cyclique ?

quant à ta question il suffit de lister les éléments du groupe A₃ et de regarder ...